Q16: Seja A uma matriz simétrica 5 \times 5 e f(\vec{v})=\vec{v}^{T} A \vec{v} a forma quadrática assuciada. Se o espectro de A é \{-2,-6,-7\}, podemos afirmar que:
(A) f(\vec{v}) \geq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} com f(\vec{w})=0.
(B) existem \vec{v} e \vec{w} tais que f(\vec{v})<0<f(\vec{w}).
(C) f(\vec{v})<0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(D) f(\vec{v})>0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(E) f(\vec{v}) \leq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} com f(\vec{w})=0.
(F) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma matriz simétrica de tamanho 5\times5 e define a forma quadrática
f(\vec v)=\vec v^{T}A\vec v,
sendo o espectro de A os valores próprios \{-2,-6,-7\}. Precisamos classificar o sinal de f(\vec v) em função dos sinais desses autovalores.

Passo 2

Pelo teorema espectral, existe base ortonormal em que
A = Q\,\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_5)\,Q^{T},
onde cada \lambda_i é um valor próprio de A. Na nova coordenada \vec y = Q^{T}\vec v, a forma quadrática fica
f(\vec v)=\vec y^{T}\,\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_5)\,\vec y =\sum_{i=1}^{5}\lambda_i\,y_i^2.

Passo 3

Como todos os autovalores são negativos ( -2,-6,-7<0), cada termo \lambda_i\,y_i^2 é não positivo e só é zero se y_i=0. Para \vec v\neq\vec 0 algum y_i\neq0, então
f(\vec v)=\sum_{i=1}^{5}\lambda_i\,y_i^2<0.
Isso mostra que f é negativamente definida.

Resposta

(C) f(\vec v)<0 para todo \vec v\neq\overrightarrow{0}.

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