Questão 4 (10 pontos). Considere a cônica
C: \quad 5 x^{2}+6 x y-3 y^{2}+6 \sqrt{10} x-6 \sqrt{10} y-6=0 .
(a) Coloque a equação de C na forma matricial e determine se C é uma parábola, hipérbole ou elipse.
(b) Fazendo as mudanças adequadas de variáveis, encontre uma equação reduzida para C.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
C:\;5x^{2}+6xy-3y^{2}+6\sqrt{10}\,x-6\sqrt{10}\,y-6=0
e pede: (a) escrever na forma matricial e classificar (parábola, elipse ou hipérbole); (b) fazer as mudanças de variáveis para obter a equação reduzida.
Conteúdo: classificação de cônicas via forma quadrática simétrica, cálculo do centro por derivadas parciais, e redução por translação e rotação de eixos.

Passo 2

Escrevemos
\begin{aligned} &\text{vetor de variáveis:}\quad\mathbf{X}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\\\ &\text{matriz quadrática:}\quad A=\begin{pmatrix}5 & 3\\\ 3 & -3\end{pmatrix} \quad\text{(pois }6xy=2\cdot3\,xy\text{)},\\\ &\text{vetor linear:}\quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}6\sqrt{10}\\\ -6\sqrt{10}\end{pmatrix},\quad \text{termo constante }c=-6. \end{aligned}
Logo, a forma matricial é
\mathbf{X}^{T}A\,\mathbf{X} \;+\;\mathbf{b}^{T}\mathbf{X}\;+\;c\;=\;0.

Passo 3

Para classificar, calculamos o determinante de A:
\det A = (5)(-3)-3\cdot3 = -15-9 = -24<0.
Como \det A<0, a forma quadrática tem sinais mistos e C é hipérbole.

Passo 4

Para eliminar os termos lineares, achamos o centro resolvendo
\nabla\bigl(\mathbf{X}^{T}A\mathbf{X}+\mathbf{b}^{T}\mathbf{X}+c\bigr)=0,
isto é
\begin{cases} 10x+6y+6\sqrt{10}=0,\\\\ 6x-6y-6\sqrt{10}=0. \end{cases}
Dessa solução vem
y=-\sqrt{10},\quad x=0.
Fazendo a translação
X = x,\quad Y = y + \sqrt{10},
a equação vira
5X^2 +6X Y -3Y^2 +24 =0
(com os termos lineares cancelados e constante ajustada).

Passo 5

Agora eliminamos o termo XY por rotação. Seja
\tan(2\theta)=\frac{6}{5-(-3)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},
de modo que as novas coordenadas sejam
\begin{pmatrix}X\Y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}.
Os autovalores de A são
\lambda_{1}=1+2\sqrt{13},\quad \lambda_{2}=1-2\sqrt{13},
e a equação reduzida fica, em (u,v),
\lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}+24=0.
Reescrevendo como hipérbole padrão, obtemos
(2\sqrt{13}-1)\,v^{2}\;-\;(1+2\sqrt{13})\,u^{2}\;=\;24 \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{2}}{\displaystyle\frac{24}{2\sqrt{13}-1}} \;-\; \frac{u^{2}}{\displaystyle\frac{24}{1+2\sqrt{13}}} \;=\;1.

Resposta

(a) Forma matricial
\mathbf{X}^{T} \begin{pmatrix}5&3\\\ 3&-3\end{pmatrix} \mathbf{X} + \begin{pmatrix}6\sqrt{10}&-6\sqrt{10}\end{pmatrix} \mathbf{X} -6 =0,
e como \det A=-24<0, é hipérbole.
(b) Translada-se para o centro (0,-\sqrt{10}) e rota-se por \theta tal que \tan2\theta=3/4. Na nova base (u,v), a equação reduzida é
\frac{v^{2}}{\displaystyle\frac{24}{2\sqrt{13}-1}} \;-\; \frac{u^{2}}{\displaystyle\frac{24}{1+2\sqrt{13}}} \;=\;1.

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