Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 6. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II e III são verdadeiras.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Todas sāo verdadeiras.
I) Todo subconjunto LI de V com 6 vetores é uma base de V.
II) Todo subconjunto de V com menos do que 6 vetores é LI.
III) Existe um subconjunto de V com 5 vetores que é LI e não gera $V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial com \dim V = 6 e apresenta três afirmações sobre conjuntos de vetores em V. Para resolver, vamos usar fatos clássicos de teoria de dimensão:
  • Em um espaço de dimensão n, toda família de vetores linearmente independente (LI) com exatamente n vetores é base.
  • Qualquer conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente (LD).
  • Em dimensão n, podem existir conjuntos LI com menos de n vetores, mas esses não geram todo o espaço.

Passo 2

Analisando a afirmação I: “Todo subconjunto LI de V com 6 vetores é uma base de V.”
Como \dim V=6, qualquer conjunto LI de 6 vetores tem dimensão igual à do espaço e, portanto, gera V. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação II: “Todo subconjunto de V com menos do que 6 vetores é LI.”
Em geral, um conjunto com menos de \dim V vetores pode ser LI ou LD (por exemplo, basta incluir o vetor zero ou vetores repetidos). Não há garantia de independência para todos os subconjuntos com menos de 6 vetores. Logo, II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação III: “Existe um subconjunto de V com 5 vetores que é LI e não gera V.”
Basta tomar uma base de V com 6 vetores e remover um deles: o conjunto restante tem 5 vetores, continua LI (subconjunto de base) e não gera todo V (precisa do vetor removido). Logo, III é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que apenas as afirmações I e III são verdadeiras, correspondendo à alternativa (D).

Resposta

(D) Apenas I e III são verdadeiras.

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