Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I. Existe um subconjunto de
com 3 vetores que é LI e não gera
.
II. Todo subconjunto de
com 5 vetores é LD.
III. Nem todo subconjunto LI de
com 4 vetores é uma base de
.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Só I e III são verdadeiras.
I. Existe um subconjunto de
II. Todo subconjunto de
III. Nem todo subconjunto LI de
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Só I e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
com
e apresenta três afirmações para avaliar:
I. Existe um subconjunto de
com 3 vetores que é LI e não gera
.
II. Todo subconjunto de com 5 vetores é LD.
III. Nem todo subconjunto LI de com 4 vetores é uma base de
.
II. Todo subconjunto de
III. Nem todo subconjunto LI de
O que se pede: indicar quais dessas afirmações são verdadeiras, escolhendo a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Vamos lembrar definições essenciais (explicadas devagar, como prometido):
-
Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) quando a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial: se
então . Aqui são escalares e vetores. -
Um conjunto gera (ou gera o espaço) quando as combinações lineares desses vetores produzem qualquer vetor do espaço. O conjunto de todas as combinações lineares chama-se o subespaço gerado (span).
-
Uma base de
é um conjunto de vetores que é ao mesmo tempo LI e gera . -
A dimensão
é o número de vetores em qualquer base de . No nosso caso .
Passo 3
Teoremas / fatos que usaremos (com explicação intuitiva):
-
Em um espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto LI tem no máximo vetores. Intuição: não há mais de “direções independentes” num espaço de dimensão . -
Em um espaço de dimensão
, qualquer conjunto que gera o espaço tem pelo menos vetores. Intuição: para cobrir todas as direções são necessárias ao menos vetores. -
Consequência importante: se um conjunto tem exatamente
vetores num espaço de dimensão , então ele é base se e somente se for LI (ou se e somente se gera). Em outras palavras, para tamanho igual à dimensão, LI implica que gera, e gerar implica LI. -
Qualquer conjunto com mais de
vetores em espaço de dimensão é linearmente dependente (LD). Intuição: não dá para ter mais de vetores todos em direções novas; algum ficará “preso” às combinações dos anteriores.
Esses fatos são padrão em álgebra linear; quando precisar, posso demonstrar formalmente, mas aqui usaremos a intuição acompanhada de argumentos curtos.
Passo 4
Analisando a afirmação I: “Existe um subconjunto de
com 3 vetores que é LI e não gera
.”
- Pelo fato 1, conjuntos LI em
podem ter até 4 vetores, então é perfeitamente possível ter conjuntos LI com 3 vetores. - Um conjunto LI com 3 vetores gera um subespaço de dimensão
(no máximo), portanto não pode gerar todo (que tem dimensão ). Logo um conjunto LI com 3 vetores não gera . - Exemplo concreto (para fixar a ideia): em
, os vetores ) são LI e o span deles é o subespaço dos vetores com quarta coordenada zero, que não é todo .
Conclusão: a afirmação I é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação II: “Todo subconjunto de
com 5 vetores é LD.”
- Aplicando o fato 4: em um espaço de dimensão
, qualquer conjunto com mais de vetores (ou seja, com vetores) é necessariamente linearmente dependente. - Intuitivamente: existem apenas 4 direções independentes; com 5 vetores pelo menos um vetor será combinação linear dos outros.
Conclusão: a afirmação II é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação III: “Nem todo subconjunto LI de
com 4 vetores é uma base de
.”
- Aqui temos um conjunto LI com exatamente
vetores, e . Pelo fato 3, qualquer conjunto LI de tamanho igual à dimensão é automaticamente uma base, porque não se pode adicionar outro vetor mantendo independência — portanto ele já gera o espaço. - Outra maneira de ver: se um conjunto LI de
vetores não gerasse , seria possível encontrar um vetor em fora do span e adicioná-lo ao conjunto mantendo independência, obtendo assim um conjunto LI com mais de vetores, o que contradiz o fato 1. Então a hipótese de não gerar é impossível.
Portanto a afirmação “Nem todo subconjunto LI de
com 4 vetores é uma base” é falsa — na verdade todo subconjunto LI com 4 vetores é base.
Passo 7
Resumo das verdades/mentiras das três afirmações:
- I: verdadeira.
- II: verdadeira.
- III: falsa.
Logo as únicas afirmações verdadeiras são I e II.
Resposta
(C) Só I e II são verdadeiras.