Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I. Existe um subconjunto de V com 3 vetores que é LI e não gera V.
II. Todo subconjunto de V com 5 vetores é LD.
III. Nem todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base de V.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Só I e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V com \dim V = 4 e apresenta três afirmações para avaliar:
I. Existe um subconjunto de V com 3 vetores que é LI e não gera V.
II. Todo subconjunto de V com 5 vetores é LD.
III. Nem todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base de V.
O que se pede: indicar quais dessas afirmações são verdadeiras, escolhendo a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Vamos lembrar definições essenciais (explicadas devagar, como prometido):
  • Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) quando a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial: se a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0 então a_1 = \cdots = a_k = 0. Aqui a_i são escalares e v_i vetores.
  • Um conjunto gera (ou gera o espaço) quando as combinações lineares desses vetores produzem qualquer vetor do espaço. O conjunto de todas as combinações lineares chama-se o subespaço gerado (span).
  • Uma base de V é um conjunto de vetores que é ao mesmo tempo LI e gera V.
  • A dimensão \dim V é o número de vetores em qualquer base de V. No nosso caso \dim V = 4.

Passo 3

Teoremas / fatos que usaremos (com explicação intuitiva):
  1. Em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores. Intuição: não há mais de n “direções independentes” num espaço de dimensão n.
  2. Em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto que gera o espaço tem pelo menos n vetores. Intuição: para cobrir todas as n direções são necessárias ao menos n vetores.
  3. Consequência importante: se um conjunto tem exatamente n vetores num espaço de dimensão n, então ele é base se e somente se for LI (ou se e somente se gera). Em outras palavras, para tamanho igual à dimensão, LI implica que gera, e gerar implica LI.
  4. Qualquer conjunto com mais de n vetores em espaço de dimensão n é linearmente dependente (LD). Intuição: não dá para ter mais de n vetores todos em direções novas; algum ficará “preso” às combinações dos anteriores.
Esses fatos são padrão em álgebra linear; quando precisar, posso demonstrar formalmente, mas aqui usaremos a intuição acompanhada de argumentos curtos.

Passo 4

Analisando a afirmação I: “Existe um subconjunto de V com 3 vetores que é LI e não gera V.”
  • Pelo fato 1, conjuntos LI em V podem ter até 4 vetores, então é perfeitamente possível ter conjuntos LI com 3 vetores.
  • Um conjunto LI com 3 vetores gera um subespaço de dimensão 3 (no máximo), portanto não pode gerar todo V (que tem dimensão 4). Logo um conjunto LI com 3 vetores não gera V.
  • Exemplo concreto (para fixar a ideia): em \mathbb{R}^4, os vetores \(v_1=(1,0,0,0),\; v_2=(0,1,0,0),\; v_3=(0,0,1,0)) são LI e o span deles é o subespaço dos vetores com quarta coordenada zero, que não é todo \mathbb{R}^4.
Conclusão: a afirmação I é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação II: “Todo subconjunto de V com 5 vetores é LD.”
  • Aplicando o fato 4: em um espaço de dimensão 4, qualquer conjunto com mais de 4 vetores (ou seja, com 5 vetores) é necessariamente linearmente dependente.
  • Intuitivamente: existem apenas 4 direções independentes; com 5 vetores pelo menos um vetor será combinação linear dos outros.
Conclusão: a afirmação II é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação III: “Nem todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base de V.”
  • Aqui temos um conjunto LI com exatamente 4 vetores, e \dim V = 4. Pelo fato 3, qualquer conjunto LI de tamanho igual à dimensão é automaticamente uma base, porque não se pode adicionar outro vetor mantendo independência — portanto ele já gera o espaço.
  • Outra maneira de ver: se um conjunto LI de 4 vetores não gerasse V, seria possível encontrar um vetor em V fora do span e adicioná-lo ao conjunto mantendo independência, obtendo assim um conjunto LI com mais de 4 vetores, o que contradiz o fato 1. Então a hipótese de não gerar é impossível.
Portanto a afirmação “Nem todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base” é falsa — na verdade todo subconjunto LI com 4 vetores é base.

Passo 7

Resumo das verdades/mentiras das três afirmações:
  • I: verdadeira.
  • II: verdadeira.
  • III: falsa.
Logo as únicas afirmações verdadeiras são I e II.

Resposta

(C) Só I e II são verdadeiras.

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