Q15: Seja p(x)=6+11 x e
\beta=\left\{2+4 x-2 x^{2}, \quad-2-x+8 x^{2}, \quad-1-x+x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 3
(B) 1
(C) -4
(D) 4
(E) -2
(F) 2
(G) -1
(H) -3

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=6+11x e a base \beta=\{\,2+4x-2x^{2},\\\ -2-x+8x^{2},\\\ -1-x+x^{2}\,\} do espaço dos polinômios de grau até 2.
Ele define as coordenadas de p na base \beta por [p]_{\beta}=(a,b,c) e pede explicitamente o valor de c.
Resumindo os dados que usarei:
  • p(x)=6+11x+0x^{2}.
  • v_{1}=2+4x-2x^{2}.
  • v_{2}=-2-x+8x^{2}.
  • v_{3}=-1-x+x^{2}.
    Pergunta: qual é o valor de c quando p=a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}?

Passo 2

Explicando a ideia: as coordenadas (a,b,c) satisfazem
p(x)=a v_{1}(x)+b v_{2}(x)+c v_{3}(x).
Dois polinômios são iguais se, e somente se, seus coeficientes dos termos x^{0},x^{1},x^{2} forem iguais. Portanto vou escrever a combinação linear, agrupar termos em potências de x e igualar os coeficientes a fim de obter um sistema linear para a,b,c.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear e agrupando coeficientes:
a(2+4x-2x^{2})+b(-2-x+8x^{2})+c(-1-x+x^{2})=6+11x+0x^{2}.
Agora igualando coeficientes de x^{0},x^{1},x^{2} obtemos o sistema
\begin{cases} 2a-2b-c=6,\\[4pt] 4a-b-c=11,\\[4pt] -2a+8b+c=0. \end{cases}]

Passo 4

Vou eliminar variáveis de maneira direta e clara. Soma a primeira e a terceira equações:
(2a-2b-c)+(-2a+8b+c)=6+0 \quad\Rightarrow\quad 6b=6.
Logo
b=1.

Passo 5

Agora uso b=1 na terceira equação para relacionar a e c:
-2a+8(1)+c=0 \quad\Rightarrow\quad -2a+8+c=0 \quad\Rightarrow\quad c=2a-8.

Passo 6

Substituo b=1 e c=2a-8 na segunda equação para achar a:
4a-b-c=11 \quad\Rightarrow\quad 4a-1-(2a-8)=11.
Desenvolvendo:
4a-1-2a+8=11 \quad\Rightarrow\quad 2a+7=11 \quad\Rightarrow\quad 2a=4 \quad\Rightarrow\quad a=2.

Passo 7

Com a=2 uso c=2a-8:
c=2\cdot 2-8=4-8=-4.
Portanto o valor pedido é c=-4.

Resposta

-4

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