Q15: Seja p(x)=6+11 x e \beta=\left\{2+4 x-2 x^{2}, \quad-2-x+8 x^{2}, \quad-1-x+x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 3
(B) 1
(C) -4
(D) 4
(E) -2
(F) 2
(G) -1
(H) -3
Passo 1
O enunciado dá o polinômio p(x)=6+11x e a base \beta=\{\,2+4x-2x^{2},\\\ -2-x+8x^{2},\\\ -1-x+x^{2}\,\} do espaço dos polinômios de grau até 2.
Ele define as coordenadas de p na base \beta por [p]_{\beta}=(a,b,c) e pede explicitamente o valor de c.
Resumindo os dados que usarei:
p(x)=6+11x+0x^{2}.
v_{1}=2+4x-2x^{2}.
v_{2}=-2-x+8x^{2}.
v_{3}=-1-x+x^{2}.
Pergunta: qual é o valor de c quando p=a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}?
Passo 2
Explicando a ideia: as coordenadas (a,b,c) satisfazem
p(x)=a v_{1}(x)+b v_{2}(x)+c v_{3}(x).
Dois polinômios são iguais se, e somente se, seus coeficientes dos termos x^{0},x^{1},x^{2} forem iguais. Portanto vou escrever a combinação linear, agrupar termos em potências de x e igualar os coeficientes a fim de obter um sistema linear para a,b,c.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear e agrupando coeficientes: