\begin{cases}\min & f=3 x+2 y \\\ \text { s.a. } & 8 x+y \geq 8 \\\ & 2 x+y \geq 6 \\\ & x+3 y \geq 6 \\\ & x+6 y \geq 8 \\\ & x, y \geq 0\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede: minimizar a função objetivo \;f=3x+2y\;\) sujeita às restrições
\[\begin{cases} 8x+y \ge 8,\\[4pt] 2x+y \ge 6,\\[4pt] x+3y \ge 6,\\[4pt] x+6y \ge 8,\\[4pt] x\ge 0,\; y\ge 0. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
A variável de decisão é o par (x,y)\] com \(\;x,y\ge 0\;.
As quatro primeiras restrições são semi‑planos definidos por retas; como os sinais são \ge, a região viável é a interseção das metades “acima” dessas retas (e do primeiro quadrante).
O objetivo é um problema de programação linear com duas variáveis, logo pode ser resolvido graficamente encontrando a região viável e avaliando f nos vértices (extremos) dessa região.]
Passo 2
Ideia do método gráfico (explicação didática):
Cada igualdade correspondente a uma restrição gera uma reta no plano. Vou escrever essas retas na forma y= algo para desenhar mentalmente e para calcular interseções.
A região viável é a interseção convexa desses semi‑planos e do primeiro quadrante.
Teorema importante (sem provar): para um problema linear, o mínimo (ou máximo) sobre uma região poligonal convexa ocorre em algum vértice (extremo) da região viável. Portanto basta encontrar os vértices (pontos de interseção relevantes das retas e dos eixos) e avaliar f neles.
Como as desigualdades são do tipo \ge, a região viável fica “acima” das retas; o “limite inferior” da região (o menor y possível para cada x) é dado pela função
y=\max\{8-8x,\;6-2x,\;(6-x)/3,\;(8-x)/6,\;0\}.
Vou então encontrar os pontos onde essas funções se igualam (as interseções) e os pontos onde cortam os eixos para obter os candidatos a vértices.
Passo 3
Escrever as equações das retas em forma y= e as interseções com os eixos:
L_1:\;8x+y=8 \Rightarrow y=8-8x.
L_2:\;2x+y=6 \Rightarrow y=6-2x.
L_3:\;x+3y=6 \Rightarrow y=\dfrac{6-x}{3}.
L_4:\;x+6y=8 \Rightarrow y=\dfrac{8-x}{6}.
Interseções com os eixos (resolver com x=0 ou y=0):
L_1 com x=0: (0,8).
L_4 com y=0: (8,0).
(As outras interseções com eixos existem mas não satisfazem todas as restrições; vou checar isso adiante.)
Passo 4
Calcular interseções entre pares de retas (sistema linear) e verificar se esses pontos satisfazem todas as restrições.
L_1\) e \(L_2\):
\[\begin{cases} 8x+y=8,\\\\ 2x+y=6. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira: 6x=2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{3}.\] Então
\[y=6-2\cdot\frac{1}{3}=6-\frac{2}{3}=\frac{16}{3}.\]
Ponto \[P_{12}=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{16}{3}\right).
Verificação rápida: nos outros dois limites L_3,L_4 os valores do lado esquerdo ficam muito maiores que as constantes, logo P_{12} satisfaz todas as desigualdades (é factível).
L_2 e L_3:
\begin{cases} 2x+y=6,\\\ x+3y=6. \end{cases}
De y=6-2x\] e substituindo: \[x+3(6-2x)=6 \Rightarrow x+18-6x=6 \Rightarrow -5x=-12 \Rightarrow x=\dfrac{12}{5}.
Ponto P_{23}=\left(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5}\right).
Verificação: nas outras restrições L_1 e L_4 os lados esquerdos são maiores que as constantes, portanto P_{23} é factível.
L_3 e L_4:
\begin{cases} x+3y=6,\\\ x+6y=8. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: 3y=2 \Rightarrow y=\dfrac{2}{3}.\] Então
\[x=6-3y=6-3\cdot\frac{2}{3}=6-2=4.\]
Ponto \(P_{34}=(4,\tfrac{2}{3}).
Verificação: P_{34} satisfaz L_1 e L_2 (os lados esquerdos ficam maiores que as constantes), logo é factível.
Interseções com os eixos já anotadas relevantes são (0,8) (interseção de L_1 com o eixo y) e (8,0) (interseção de L_4 com o eixo x). Ambas verificam todas as desigualdades (fiz checagens rápidas: por exemplo, (0,8) injeta 8x+y=8 e nas demais o lado esquerdo é maior que a constante).
Resumo dos pontos candidatos (vértices do limite inferior da região viável):
Observação (intuição geométrica): para x entre 0 e \tfrac{1}{3} a reta L_1 dá o maior valor de y; entre \tfrac{1}{3} e \tfrac{12}{5} domina L_2; entre \tfrac{12}{5} e 4 domina L_3; entre 4 e 8 domina L_4; para x\ge 8 o limite inferior é y=0. Por isso os pontos listados são exatamente os “kinks” (vértices) do envelope inferior.
Passo 5
Avaliar a função objetivo \;f(x,y)=3x+2y\; em cada vértice candidato (fazer contas passo a passo, preferindo frações):
Em (0,8):
f(0,8)=3\cdot 0 + 2\cdot 8 = 16.
Em P_{12}=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{16}{3}\right):
o menor valor é \dfrac{48}{5}=9{,}6, que ocorre no ponto
\left(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5}\right).
Conclui‑se que o problema tem solução ótima atingida em P_{23}. A região viável é não limitada para x grandes, mas o problema de minimização tem mínimo alcançado em um vértice da fronteira (como previsto pela teoria).