Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. - Procura-se o único vetor
que tem a forma .
O que é pedido: determinar o valor de
(das opções A–H).
Passo 2
Antes de montar equações, lembrar o que significam as coisas:
-
de vetores significa todos os combinados lineares desses vetores. Assim, se e somente se existem escalares tais que
-
é o conjunto de vetores ortogonais a todo vetor de . Como é gerado por , isto é,
onde o produto interno (produto escalar) em
é dado por
.
Passo 3
Representar um vetor geral de
via combinação linear. Para
,
Logo todo vetor de
tem essa forma de coordenadas.
Passo 4
Impor que o vetor procurado tenha primeira coordenada
. Igualando a primeira componente da expressão acima a
obtemos a primeira equação:
Passo 5
Impor que o vetor pertença a
, isto é, seja ortogonal a
. O produto escalar entre
e
deve ser zero:
Agora simplificar essa soma passo a passo:
Isto dá
ou seja
Passo 6
Resolver o sistema formado por
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Então
.]
Passo 7
Com
e
calculamos as componentes do vetor em
:
Portanto o vetor procurado é
e o valor de
é
.]
Passo 8
Verificação rápida da ortogonalidade:
, ok. Conclusão é única porque o sistema linear para
teve solução única.