Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(1,1,-2),(-3,-2,5)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(1,2,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-3, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • H=\operatorname{span}\{(1,1,-2),(-3,-2,5)\}.
  • M=\operatorname{span}\{(1,2,1)\}.
  • Procura-se o único vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tem a forma \vec{x}=(-3,x_{2},x_{3}).
O que é pedido: determinar o valor de x_{3} (das opções A–H).

Passo 2

Antes de montar equações, lembrar o que significam as coisas:
  • \operatorname{span} de vetores significa todos os combinados lineares desses vetores. Assim, \vec{y}\in H se e somente se existem escalares \alpha,\beta tais que
\vec{y}=\alpha(1,1,-2)+\beta(-3,-2,5).
  • M^{\perp} é o conjunto de vetores ortogonais a todo vetor de M. Como M é gerado por (1,2,1), isto é,
\vec{z}\in M^{\perp}\quad\Longleftrightarrow\quad \vec{z}\cdot(1,2,1)=0,
onde o produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^{3} é dado por (a_{1},a_{2},a_{3})\cdot(b_{1},b_{2},b_{3})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.

Passo 3

Representar um vetor geral de H via combinação linear. Para \alpha,\beta\in\mathbb{R},
\alpha(1,1,-2)+\beta(-3,-2,5) = (\alpha-3\beta,\;\alpha-2\beta,\;-2\alpha+5\beta).
Logo todo vetor de H tem essa forma de coordenadas.

Passo 4

Impor que o vetor procurado tenha primeira coordenada -3. Igualando a primeira componente da expressão acima a -3 obtemos a primeira equação:
\alpha-3\beta=-3.

Passo 5

Impor que o vetor pertença a M^{\perp}, isto é, seja ortogonal a (1,2,1). O produto escalar entre (\alpha-3\beta,\;\alpha-2\beta,\;-2\alpha+5\beta) e (1,2,1) deve ser zero:
(\alpha-3\beta)+2(\alpha-2\beta)+(-2\alpha+5\beta)=0.
Agora simplificar essa soma passo a passo:
\alpha-3\beta+2\alpha-4\beta-2\alpha+5\beta = (\alpha+2\alpha-2\alpha)+(-3\beta-4\beta+5\beta).
Isto dá
\alpha + (-2\beta)=0,
ou seja
\alpha-2\beta=0.

Passo 6

Resolver o sistema formado por
\begin{cases} \alpha-3\beta=-3,\\[4pt] \alpha-2\beta=0. \end{cases}
Da segunda equação vem \alpha=2\beta. Substituindo na primeira:
2\beta-3\beta=-3 \quad\Rightarrow\quad -\beta=-3 \quad\Rightarrow\quad \beta=3.
Então \alpha=2\beta=6.]

Passo 7

Com \alpha=6 e \beta=3 calculamos as componentes do vetor em H:
\begin{aligned} x_{1}&=\alpha-3\beta=6-9=-3\quad(\text{confere com a forma exigida}),\\[4pt] x_{2}&=\alpha-2\beta=6-6=0,\\[4pt] x_{3}&=-2\alpha+5\beta=-12+15=3. \end{aligned}
Portanto o vetor procurado é (-3,0,3) e o valor de x_{3} é 3.]

Passo 8

Verificação rápida da ortogonalidade: (-3,0,3)\cdot(1,2,1)=-3+0+3=0, ok. Conclusão é única porque o sistema linear para \alpha,\beta teve solução única.

Resposta

3 (G)

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