Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -3 & 5 \\\\ -1 & 0 & -2 & 1 \\\\ 2 & -3 & 0 & 14 \\\\ -1 & -1 & 6 & -10 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{1}, a 1^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3

Passo 1

O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada. As informações fornecidas são:
A matriz A (extraída da parte esquerda da matriz aumentada) e o vetor \vec{b} (extraído da coluna à direita) são:
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3\\[4pt] -1 & 0 & -2\\[4pt] 2 & -3 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 6 \end{pmatrix}, \qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\\[4pt]14\\[4pt]-10\end{pmatrix}.
A pergunta específica é: qual é o valor de x_{1}, a primeira entrada da solução \vec{x} que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}?]

Passo 2

Conceito básico (didático e direto): quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é sobredeterminado (mais equações que incógnitas), procuramos \vec{x} que minimiza o erro quadrático \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}. O procedimento padrão é formar as equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Breve justificativa: a função que queremos minimizar é f(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}=(A\vec{x}-\vec{b})^{T}(A\vec{x}-\vec{b}). Derivando em relação a \vec{x} (gradiente) e igualando a zero obtém-se 2A^{T}A\vec{x}-2A^{T}\vec{b}=0, que leva a A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}. Não precisa decorar: pensar em projetar \vec{b} na coluna-espaço de A também dá a mesma equação.

Passo 3

Vamos calcular A^{T}A. Para facilitar, escrevo as colunas de A:
\begin{aligned} c_{1}&=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad c_{2}=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]0\\[2pt]-3\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad c_{3}=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]-2\\[2pt]0\\[2pt]6\end{pmatrix}. \end{aligned}
Os elementos de A^{T}A são produtos internos entre essas colunas:
\begin{aligned} c_{1}\cdot c_{1}&=1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}+(-1)^{2}=1+1+4+1=7,\\[4pt] c_{1}\cdot c_{2}&=1\cdot(-2)+(-1)\cdot0+2\cdot(-3)+(-1)\cdot(-1)=-2+0-6+1=-7,\\[4pt] c_{1}\cdot c_{3}&=1\cdot(-3)+(-1)\cdot(-2)+2\cdot0+(-1)\cdot6=-3+2+0-6=-7,\\[4pt] c_{2}\cdot c_{2}&=(-2)^{2}+0^{2}+(-3)^{2}+(-1)^{2}=4+0+9+1=14,\\[4pt] c_{2}\cdot c_{3}&=(-2)\cdot(-3)+0\cdot(-2)+(-3)\cdot0+(-1)\cdot6=6+0+0-6=0,\\[4pt] c_{3}\cdot c_{3}&=(-3)^{2}+(-2)^{2}+0^{2}+6^{2}=9+4+0+36=49. \end{aligned}
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix} 7 & -7 & -7\\[4pt] -7 & 14 & 0\\[4pt] -7 & 0 & 49 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos A^{T}\vec{b} por produtos internos entre as colunas c_{i} e \vec{b}:
\vec{b}=\begin{pmatrix}5\\[2pt]1\\[2pt]14\\[2pt]-10\end{pmatrix}.
Calculemos:
\begin{aligned} c_{1}\cdot\vec{b}&=1\cdot5+(-1)\cdot1+2\cdot14+(-1)\cdot(-10)=5-1+28+10=42,\\[4pt] c_{2}\cdot\vec{b}&=(-2)\cdot5+0\cdot1+(-3)\cdot14+(-1)\cdot(-10)=-10+0-42+10=-42,\\[4pt] c_{3}\cdot\vec{b}&=(-3)\cdot5+(-2)\cdot1+0\cdot14+6\cdot(-10)=-15-2+0-60=-77. \end{aligned}
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}42\\[4pt]-42\\[4pt]-77\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrevemos as equações normais explicitamente:
\begin{pmatrix} 7 & -7 & -7\\[4pt] -7 & 14 & 0\\[4pt] -7 & 0 & 49 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}42\\[4pt]-42\\[4pt]-77\end{pmatrix}.
Para simplificar, dividimos todas as equações por 7 (divisão válida porque 7\neq0), obtendo:
\begin{aligned} &x_{1}-x_{2}-x_{3}=6,\\[4pt] &-x_{1}+2x_{2}= -6,\\[4pt] &-x_{1}+7x_{3}= -11. \end{aligned}]

Passo 6

Resolvendo o sistema passo a passo:
Da segunda equação -x_{1}+2x_{2}=-6 isolamos x_{1}:
x_{1}=2x_{2}+6.
Substituímos na primeira equação x_{1}-x_{2}-x_{3}=6:
(2x_{2}+6)-x_{2}-x_{3}=6 \implies x_{2}-x_{3}=0 \implies x_{2}=x_{3}.
Usamos agora a terceira equação -x_{1}+7x_{3}=-11. Substituindo x_{1}=2x_{2}+6 e x_{2}=x_{3} obtemos
-(2x_{3}+6)+7x_{3}=-11 \implies -2x_{3}-6+7x_{3}=-11 \implies 5x_{3}-6=-11.
Portanto
5x_{3}=-5 \implies x_{3}=-1.
Como x_{2}=x_{3}, temos x_{2}=-1. E x_{1}=2x_{2}+6=2(-1)+6=4.
Verificação rápida (substituir em uma das equações originais das normais) confirma consistência.

Passo 7

Concluímos que a solução dos mínimos quadrados é
\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
portanto a primeira entrada é x_{1}=4.]

Resposta

4

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