Q18: Considere os subespaços de
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-3,1,-1),(8,-3,5)\} \text { e } \\ M=\operatorname{span}\{(2,9,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(2, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4

Passo 1

O enunciado pede que encontremos o vetor \vec{x} que satisfaz três coisas ao mesmo tempo:
  1. \vec{x}\in H, onde H=\operatorname{span}\{(-3,1,-1),(8,-3,5)\}.
  2. \vec{x}\in M^{\perp}, onde M=\operatorname{span}\{(2,9,1)\}, ou seja, \vec{x} é ortogonal ao vetor (2,9,1).
  3. \vec{x} tem a forma \vec{x}=(2,x_{2},x_{3}) — isto fixa a primeira coordenada como 2.
Informações dadas que usaremos:
  • Vetores geradores de H: (-3,1,-1) e (8,-3,5).
  • Gerador de M: (2,9,1).
  • Queremos o componente x_{3} do vetor \vec{x} pedido.

Passo 2

Entender o que significa \vec{x}\in H. Por definição de span, qualquer vetor em H é combinação linear dos geradores. Então existem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a(-3,1,-1)+b(8,-3,5).
Vamos escrever as coordenadas de \vec{x} em função de a e b. Multiplicando e somando coordenada a coordenada:
\vec{x} = \bigl(-3a+8b,\; a-3b,\; -a+5b\bigr).
Portanto as coordenadas são
x_{1} = -3a+8b,\quad x_{2}=a-3b,\quad x_{3}=-a+5b.

Passo 3

Entender o que significa \vec{x}\in M^{\perp}. Isso quer dizer que \vec{x} é ortogonal ao vetor gerador de M; ortogonalidade é verificada pelo produto escalar (dot product). O produto escalar entre \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}) e m=(2,9,1) é
\vec{x}\cdot m = 2x_{1}+9x_{2}+1\cdot x_{3}.
Para \vec{x}\in M^{\perp} devemos ter \vec{x}\cdot m=0. Substituímos as expressões em a,b do passo anterior:
2(-3a+8b)+9(a-3b)+(-a+5b)=0.
Agora desenvolvemos essa soma termo a termo para obter uma equação linear em a e b.

Passo 4

Calcular a equação de ortogonalidade detalhadamente:
2(-3a+8b) = -6a+16b,
9(a-3b)=9a-27b,
(-a+5b)=-a+5b.
Somando:
(-6a+16b)+(9a-27b)+(-a+5b) = (-6a+9a-a) + (16b-27b+5b).
Calcule as somas separadamente:
-6a+9a-a = 2a,
16b-27b+5b = -6b.
Logo a equação de ortogonalidade fica
2a - 6b = 0.
Podemos simplificar dividindo por 2:
a - 3b = 0 \quad\Rightarrow\quad a=3b.

Passo 5

Agora usamos a condição extra de que \vec{x} tem primeira coordenada 2, isto é x_{1}=2. Pela expressão de x_{1} em função de a,b temos
-3a+8b=2.
Substituímos a=3b nessa equação:
-3(3b)+8b = 2.
Calcule o lado esquerdo:
-9b+8b = -b,
portanto
-b = 2 \quad\Rightarrow\quad b = -2.
Como a=3b, obtemos
a = 3(-2) = -6.

Passo 6

Finalmente, calculamos x_{3} usando a fórmula obtida em termos de a,b:
x_{3} = -a+5b.
Substituindo a=-6 e b=-2:
x_{3} = -(-6)+5(-2) = 6 - 10 = -4.
Portanto o vetor \vec{x} encontrado é único (pois o sistema linear determinou a e b unicamente) e tem x_{3}=-4.

Resposta

(H) -4

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