Q18: Considere os subespaços de
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4
Passo 1
O enunciado pede que encontremos o vetor
que satisfaz três coisas ao mesmo tempo:
-
, onde . -
, onde , ou seja, é ortogonal ao vetor . -
tem a forma — isto fixa a primeira coordenada como .
Informações dadas que usaremos:
- Vetores geradores de
: e . - Gerador de
: . - Queremos o componente
do vetor pedido.
Passo 2
Entender o que significa
. Por definição de span, qualquer vetor em
é combinação linear dos geradores. Então existem escalares
tais que
Vamos escrever as coordenadas de
em função de
e
. Multiplicando e somando coordenada a coordenada:
Portanto as coordenadas são
Passo 3
Entender o que significa
. Isso quer dizer que
é ortogonal ao vetor gerador de
; ortogonalidade é verificada pelo produto escalar (dot product). O produto escalar entre
e
é
Para
devemos ter
. Substituímos as expressões em
do passo anterior:
Agora desenvolvemos essa soma termo a termo para obter uma equação linear em
e
.
Passo 4
Calcular a equação de ortogonalidade detalhadamente:
Somando:
Calcule as somas separadamente:
Logo a equação de ortogonalidade fica
Podemos simplificar dividindo por
:
Passo 5
Agora usamos a condição extra de que
tem primeira coordenada
, isto é
. Pela expressão de
em função de
temos
Substituímos
nessa equação:
Calcule o lado esquerdo:
portanto
Como
, obtemos
Passo 6
Finalmente, calculamos
usando a fórmula obtida em termos de
:
Substituindo
e
:
Portanto o vetor
encontrado é único (pois o sistema linear determinou
e
unicamente) e tem
.
Resposta
(H)