Q16: Considere a base ORTOGONAL de
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ -4 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ 3 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 9 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ -4 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 5 \\\\ 7 \\\\ 8 \\\\ 1 \\\\ 8 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 4 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -4 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(4,-13,-18,9,-25).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada por cinco vetores (vou chamá-los de \vec{b}_1,\dots,\vec{b}_5) e o vetor \vec{v}. As informações relevantes são:
\vec{b}_5=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]4\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]-4\end{bmatrix},\qquad \vec{v}=\begin{pmatrix}4\\[2pt]-13\\[2pt]-18\\[2pt]9\\[2pt]-25\end{pmatrix}.
O que o enunciado pede: calcular a quinta coordenada x_{5} do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta} (ou seja, o coeficiente de \vec{b}_5 quando escrevemos \vec{v} na base \beta). Observação do enunciado: a base é ortogonal e não é necessário resolver sistema linear.]

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): se \beta é uma base ortogonal com vetores \vec{b}_1,\dots,\vec{b}_5, qualquer vetor \vec{v} se escreve unicamente como combinação linear
\vec{v}=x_1\vec{b}_1+x_2\vec{b}_2+\cdots+x_5\vec{b}_5.
Faça o produto interno (produto escalar) de ambos os lados com \vec{b}_5. Lembrando que o produto escalar em \mathbb{R}^n é \vec{u}\cdot\vec{w}=\sum u_i w_i. Então
\vec{v}\cdot\vec{b}_5 = \sum_{i=1}^{5} x_i(\vec{b}_i\cdot\vec{b}_5).
Como a base é ortogonal, \vec{b}_i\cdot\vec{b}_5=0 para i\neq5. Logo só sobra o termo i=5, ficando
\vec{v}\cdot\vec{b}_5 = x_5(\vec{b}_5\cdot\vec{b}_5).
Isolando x_5 obtemos a fórmula prática:
x_5=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_5}{\vec{b}_5\cdot\vec{b}_5}.
Essa fórmula é a razão entre o produto escalar de \vec{v} com \vec{b}_5 e o quadrado da norma de \vec{b}_5.

Passo 3

Aplicando a fórmula acima ao caso dado. Primeiro identificamos explicitamente \vec{b}_5 (peguei esse vetor do enunciado):
\vec{b}_5=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]4\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]-4\end{bmatrix}.
Vamos calcular \vec{v}\cdot\vec{b}_5 e \vec{b}_5\cdot\vec{b}_5 separadamente.]

Passo 4

Cálculo de \vec{v}\cdot\vec{b}_5. Fazemos produto termo a termo e somamos:
\begin{aligned} \vec{v}\cdot\vec{b}_5 &= 4\cdot(-1) + (-13)\cdot 4 + (-18)\cdot 1 + 9\cdot 1 + (-25)\cdot(-4)\\[4pt] &= -4 -52 -18 +9 +100. \end{aligned}
Agora somando passo a passo:
-4-52=-56,\quad -56-18=-74,\quad -74+9=-65,\quad -65+100=35.
Portanto
\vec{v}\cdot\vec{b}_5 = 35.]

Passo 5

Cálculo de \vec{b}_5\cdot\vec{b}_5 (que é \|\vec{b}_5\|^2). Soma dos quadrados das componentes:
\vec{b}_5\cdot\vec{b}_5 = (-1)^2 + 4^2 + 1^2 + 1^2 + (-4)^2 = 1 + 16 + 1 + 1 + 16.
Somando:
1+16=17,\quad 17+1=18,\quad 18+1=19,\quad 19+16=35.
Logo
\vec{b}_5\cdot\vec{b}_5 = 35.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula
x_5=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_5}{\vec{b}_5\cdot\vec{b}_5}=\frac{35}{35}=1.
Portanto a quinta coordenada de [\vec{v}]_{\beta} é 1. Força aí — deu certinho e foi só usar ortogonalidade!

Resposta

(E) 1

Exercícios relacionados