e o vetor \vec{v}=(4,-13,-18,9,-25).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada por cinco vetores (vou chamá-los de \vec{b}_1,\dots,\vec{b}_5) e o vetor \vec{v}. As informações relevantes são:
O que o enunciado pede: calcular a quinta coordenada x_{5} do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta} (ou seja, o coeficiente de \vec{b}_5 quando escrevemos \vec{v} na base \beta). Observação do enunciado: a base é ortogonal e não é necessário resolver sistema linear.]
Passo 2
Princípio usado (explicação didática): se \beta é uma base ortogonal com vetores \vec{b}_1,\dots,\vec{b}_5, qualquer vetor \vec{v} se escreve unicamente como combinação linear
Faça o produto interno (produto escalar) de ambos os lados com \vec{b}_5. Lembrando que o produto escalar em \mathbb{R}^n é \vec{u}\cdot\vec{w}=\sum u_i w_i. Então