Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
:
e
Pede-se: encontrar o único vetor
que pertence a
e que tem a forma
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os geradores de
são e . - O subespaço
é gerado por . -
é o conjunto dos vetores ortogonais a , ou seja, todo satisfaz . - Queremos um vetor
que: - pertence a
(logo é combinação linear de e ); - pertence a
(logo ); - tem primeira componente igual a
, isto é, .
- pertence a
Passo 2
Lembrando definições importantes (mini-aula):
- A condição
significa que existem escalares tais que
Aqui
e
são vetores conhecidos;
e
são incógnitas que representam “quanto” de cada gerador usamos.
- A condição
significa que é ortogonal a , isto é, o produto escalar é zero:
- Produto escalar em
: para e ,
Isso é uma soma de produtos coordenada a coordenada.
Passo 3
Parametrizar
como combinação linear de
e
. Usando
e
, temos
Vamos calcular as componentes de
em termos de
e
. Somando coordenada a coordenada:
Passo 4
Impor a condição de forma: a primeira componente de
deve ser
. Então
Isto é uma equação linear entre
e
. Resolver para
em função de
:
Também já podemos escrever as outras duas componentes em termos de
substituindo
. Substituindo
em
e
:
Portanto, qualquer vetor da forma exigida em
(com primeira componente
) tem coordenadas
onde
é ainda uma incógnita.
Passo 5
Impor agora a condição de ortogonalidade
com
. Aplicando o produto escalar:
Sabemos
,
e
. Substituindo:
Passo 6
Resolver a equação obtida para
. Calcule termo a termo:
Agrupando coeficientes de
e termos constantes:
Portanto a equação fica
Isolando
:
Passo 7
Com
determine
. Lembrando que encontramos antes
. Substituindo
:
Também, por checagem rápida,
, então o vetor encontrado é
Podemos rapidamente verificar:
está em
porque foi construída como combinação linear com
e
, e está em
porque
. Tudo consistente.
Resposta
(C) 2