Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-1,1,-1),(2,-3,4)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(1,4,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-2, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^{3}:
H=\operatorname{span}\{(-1,1,-1),(2,-3,4)\}
e
M=\operatorname{span}\{(1,4,1)\}.
Pede-se: encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=(-2,x_{2},x_{3}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os geradores de H são \vec{v}_{1}=(-1,1,-1) e \vec{v}_{2}=(2,-3,4).
  • O subespaço M é gerado por \vec{m}=(1,4,1).
  • M^{\perp} é o conjunto dos vetores ortogonais a \vec{m}, ou seja, todo \vec{y}\in M^{\perp} satisfaz \vec{y}\cdot\vec{m}=0.
  • Queremos um vetor \vec{x} que:
    1. pertence a H (logo \vec{x} é combinação linear de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2});
    2. pertence a M^{\perp} (logo \vec{x}\cdot\vec{m}=0);
    3. tem primeira componente igual a -2, isto é, \vec{x}=(-2,x_{2},x_{3}).

Passo 2

Lembrando definições importantes (mini-aula):
  • A condição \vec{x}\in H significa que existem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}.
Aqui \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são vetores conhecidos; a e b são incógnitas que representam “quanto” de cada gerador usamos.
  • A condição \vec{x}\in M^{\perp} significa que \vec{x} é ortogonal a \vec{m}, isto é, o produto escalar é zero:
\vec{x}\cdot\vec{m}=0.
  • Produto escalar em \mathbb{R}^{3}: para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Isso é uma soma de produtos coordenada a coordenada.

Passo 3

Parametrizar \vec{x}\in H como combinação linear de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. Usando \vec{v}_{1}=(-1,1,-1) e \vec{v}_{2}=(2,-3,4), temos
\vec{x}=a(-1,1,-1)+b(2,-3,4).
Vamos calcular as componentes de \vec{x} em termos de a e b. Somando coordenada a coordenada:
\vec{x}=(-a+2b,\; a-3b,\; -a+4b).

Passo 4

Impor a condição de forma: a primeira componente de \vec{x} deve ser -2. Então
-a+2b=-2.
Isto é uma equação linear entre a e b. Resolver para a em função de b:
-a+2b=-2 \quad\Rightarrow\quad a=2b+2.
Também já podemos escrever as outras duas componentes em termos de b substituindo a. Substituindo a=2b+2 em x_2 e x_3:
x_2=a-3b=(2b+2)-3b=-b+2,
x_3=-a+4b=-(2b+2)+4b=2b-2.
Portanto, qualquer vetor da forma exigida em H (com primeira componente -2) tem coordenadas
\vec{x}=(-2,\; -b+2,\; 2b-2),
onde b é ainda uma incógnita.

Passo 5

Impor agora a condição de ortogonalidade \vec{x}\cdot\vec{m}=0 com \vec{m}=(1,4,1). Aplicando o produto escalar:
\vec{x}\cdot\vec{m}=x_1\cdot1 + x_2\cdot4 + x_3\cdot1 = 0.
Sabemos x_1=-2, x_2=-b+2 e x_3=2b-2. Substituindo:
-2 + 4(-b+2) + (2b-2) = 0.

Passo 6

Resolver a equação obtida para b. Calcule termo a termo:
-2 + 4(-b+2) + (2b-2) = -2 + (-4b+8) + 2b -2.
Agrupando coeficientes de b e termos constantes:
(-4b+2b) + (-2+8-2) = -2b + 4.
Portanto a equação fica
-2b + 4 = 0.
Isolando b:
-2b = -4 \quad\Rightarrow\quad b=2.

Passo 7

Com b=2 determine x_3. Lembrando que encontramos antes x_3=2b-2. Substituindo b=2:
x_3 = 2\cdot2 - 2 = 4 - 2 = 2.
Também, por checagem rápida, x_2=-b+2=-2+2=0, então o vetor encontrado é
\vec{x}=(-2,0,2).
Podemos rapidamente verificar: \vec{x} está em H porque foi construída como combinação linear com a=2b+2=2\cdot2+2=6 e b=2, e está em M^{\perp} porque (-2)+4\cdot0+2=0. Tudo consistente.

Resposta

(C) 2

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