Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
II.
não é subespaço vetorial.
III. O complemento ortogonal de span
, é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
II.
III. O complemento ortogonal de span
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas e pede que eu determine quais são verdadeiras:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II. não é subespaço vetorial.
III. O complemento ortogonal de , com
linearmente dependente, é subespaço vetorial.
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
II.
III. O complemento ortogonal de
O objetivo é decidir, para cada uma, se é verdadeira ou falsa, e então escolher a alternativa correta entre (A)–(H).
Passo 2
Lembrete didático: o que significa “ser um subespaço vetorial”?
- Um subconjunto
de é subespaço vetorial se satisfaz três propriedades essenciais: - Contém o vetor nulo
. - Fechado sob adição: se
e então . - Fechado sob multiplicação por escalar: se
e então .
- Contém o vetor nulo
- Na prática, muitas vezes basta verificar (1) e as duas fechaduras (2) e (3). Se qualquer uma falha, não é subespaço.
Vou usar exatamente essas propriedades para analisar I, II e III.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “O conjunto solução do sistema homogêneo
é um subespaço vetorial.”
Explicação passo a passo:
- Definição: o conjunto solução é o núcleo (null space) de
, denotado . - Verificar as propriedades:
-
, logo . - Se
então e . Então logo . - Se
e , então logo .
-
- Conclusão:
satisfaz as três propriedades e portanto é subespaço vetorial.
Comentário didático rápido: intuitivamente, as soluções de um sistema homogêneo formam um “espaço de vetores” que pode ser somado e escalado sem sair dele — por isso subespaço. Exemplo simples: para
(matriz
), o conjunto de soluções é
, que é uma reta através da origem, claramente um subespaço.
Passo 4
Conclusão parcial: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmativa II:
não é subespaço vetorial.
Explicação passo a passo:
- Primeiro teste rápido: verificar se o vetor nulo
pertence ao conjunto. - Se
deve satisfazer . Substituindo e obtemos , o que é falso. - Portanto
. - Como a presença do vetor nulo é condição necessária para ser subespaço, o conjunto não pode ser subespaço vetorial.
- Outro argumento (ilustrativo): o conjunto é um plano paralelo a um plano que passa pela origem, deslocado pela constante
no . Esse deslocamento afasta do zero; subespaços sempre passam pela origem.
Conclusão: a afirmativa II diz que o conjunto “não é subespaço”, e isso é correto — logo a afirmativa II é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmativa III: “O complemento ortogonal de
, com
linearmente dependente, é subespaço vetorial.”
Primeiro, definição e ideia:
- Para um subconjunto
, o complemento ortogonal é - Propriedade geral importante (teorema básico de álgebra linear): para qualquer conjunto
, o conjunto é sempre um subespaço vetorial. Não é necessário que seja linearmente independente; basta ser um subconjunto.
Prova direta (fechamento e zero):
-
para todo , então . - Se
então para todo , então . - Se
e , então for every , então . - Assim
é subespaço.
Aplicando ao caso dado:
- Tome
. Mesmo se for linearmente dependente (ou seja, tem dimensão ou ), as propriedades acima continuam válidas. Logo o complemento ortogonal é subespaço. - Observação concreta: se
, então (que é subespaço). Se a span é uma reta, então o complemento ortogonal é um plano passando pela origem — também subespaço.
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 7
Tirando as conclusões: I é verdadeira, II é verdadeira (a frase “não é subespaço” está correta) e III é verdadeira. Portanto todas as três afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(H)