Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
II. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=3 z+3\right\} não é subespaço vetorial.
III. O complemento ortogonal de span \{\vec{u}, \vec{v}\}, \operatorname{com}\{\vec{u}, \vec{v}\} \operatorname{LD}, é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas e pede que eu determine quais são verdadeiras:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
II. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=3 z+3\right\} não é subespaço vetorial.
III. O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, com \{\vec{u},\vec{v}\} linearmente dependente, é subespaço vetorial.
O objetivo é decidir, para cada uma, se é verdadeira ou falsa, e então escolher a alternativa correta entre (A)–(H).

Passo 2

Lembrete didático: o que significa “ser um subespaço vetorial”?
  • Um subconjunto S de \mathbb{R}^n é subespaço vetorial se satisfaz três propriedades essenciais:
    1. Contém o vetor nulo \overrightarrow{0}.
    2. Fechado sob adição: se \vec{a}\in S e \vec{b}\in S então \vec{a}+\vec{b}\in S.
    3. Fechado sob multiplicação por escalar: se \vec{a}\in S e c\in\mathbb{R} então c\vec{a}\in S.
  • Na prática, muitas vezes basta verificar (1) e as duas fechaduras (2) e (3). Se qualquer uma falha, não é subespaço.
    Vou usar exatamente essas propriedades para analisar I, II e III.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “O conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.”
Explicação passo a passo:
  • Definição: o conjunto solução é o núcleo (null space) de A, denotado \ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
  • Verificar as propriedades:
    1. A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo \overrightarrow{0}\in\ker(A).
    2. Se \vec{x},\vec{y}\in\ker(A) então A\vec{x}=\overrightarrow{0} e A\vec{y}=\overrightarrow{0}. Então A(\vec{x}+\vec{y})=A\vec{x}+A\vec{y}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},logo \vec{x}+\vec{y}\in\ker(A).
    3. Se \vec{x}\in\ker(A) e c\in\mathbb{R}, então A(c\vec{x})=c(A\vec{x})=c\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},logo c\vec{x}\in\ker(A).
  • Conclusão: \ker(A) satisfaz as três propriedades e portanto é subespaço vetorial.
Comentário didático rápido: intuitivamente, as soluções de um sistema homogêneo formam um “espaço de vetores” que pode ser somado e escalado sem sair dele — por isso subespaço. Exemplo simples: para A=[1\\\ 0] (matriz 1\times2), o conjunto de soluções é \{(0,y)\}, que é uma reta através da origem, claramente um subespaço.

Passo 4

Conclusão parcial: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmativa II: \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=3 z+3\right\} não é subespaço vetorial.
Explicação passo a passo:
  • Primeiro teste rápido: verificar se o vetor nulo \overrightarrow{0}=(0,0,0) pertence ao conjunto.
  • Se (x,y,z)=(0,0,0) deve satisfazer y=3z+3. Substituindo y=0 e z=0 obtemos 0 = 3\cdot 0 + 3 = 3, o que é falso.
  • Portanto \overrightarrow{0}\notin\{(x,y,z)\mid y=3z+3\}.
  • Como a presença do vetor nulo é condição necessária para ser subespaço, o conjunto não pode ser subespaço vetorial.
  • Outro argumento (ilustrativo): o conjunto é um plano paralelo a um plano que passa pela origem, deslocado pela constante +3 no y. Esse deslocamento afasta do zero; subespaços sempre passam pela origem.
Conclusão: a afirmativa II diz que o conjunto “não é subespaço”, e isso é correto — logo a afirmativa II é verdadeira.

Passo 6

Análise da afirmativa III: “O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, com \{\vec{u},\vec{v}\} linearmente dependente, é subespaço vetorial.”
Primeiro, definição e ideia:
  • Para um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^n, o complemento ortogonal é S^\perp=\{\vec{w}\in\mathbb{R}^n \mid \vec{w}\cdot\vec{s}=0\text{ para todo }\vec{s}\in S\}.
  • Propriedade geral importante (teorema básico de álgebra linear): para qualquer conjunto S, o conjunto S^\perp é sempre um subespaço vetorial. Não é necessário que S seja linearmente independente; basta ser um subconjunto.
Prova direta (fechamento e zero):
  • \overrightarrow{0}\cdot \vec{s}=0 para todo \vec{s}, então \overrightarrow{0}\in S^\perp.
  • Se \vec{w}_1,\vec{w}_2\in S^\perp então para todo \vec{s}\in S, (\vec{w}_1+\vec{w}_2)\cdot\vec{s}=\vec{w}_1\cdot\vec{s}+\vec{w}_2\cdot\vec{s}=0+0=0,então \vec{w}_1+\vec{w}_2\in S^\perp.
  • Se c\in\mathbb{R} e \vec{w}\in S^\perp, então for every \vec{s}\in S, (c\vec{w})\cdot\vec{s}=c(\vec{w}\cdot\vec{s})=c\cdot 0=0,então c\vec{w}\in S^\perp.
  • Assim S^\perp é subespaço.
Aplicando ao caso dado:
  • Tome S=\operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}. Mesmo se \{\vec{u},\vec{v}\} for linearmente dependente (ou seja, \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} tem dimensão 0 ou 1), as propriedades acima continuam válidas. Logo o complemento ortogonal é subespaço.
  • Observação concreta: se \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}=\{\overrightarrow{0}\}, então (\operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\})^\perp=\mathbb{R}^n (que é subespaço). Se a span é uma reta, então o complemento ortogonal é um plano passando pela origem — também subespaço.
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 7

Tirando as conclusões: I é verdadeira, II é verdadeira (a frase “não é subespaço” está correta) e III é verdadeira. Portanto todas as três afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(H)

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