O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada fornecida. Ou seja, dado o sistema A\vec{x}=\vec{b} com a matriz aumentada
devo encontrar o vetor \vec{x}\in\mathbb{R}^3 que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2.
Informações dadas (retiradas da matriz aumentada):
A matriz A tem as linhas (cada linha é uma equação):
linha 1: (-1,\;2,\;1)
linha 2: (-1,\;2,\;-1)
linha 3: (1,\;0,\;3)
linha 4: (-1,\;0,\;-1)
O vetor \vec{b} é (-12,\,-8,\,0,\,0)^T.
Número de equações m=4 e número de incógnitas n=3.
Passo 2
O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” e qual método usar?
Quando m>n (mais equações que incógnitas) normalmente não existe \vec{x} que resolva exatamente A\vec{x}=\vec{b}. A solução de mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza a funçãof(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^2=\sum_{i=1}^m (a_i^T\vec{x}-b_i)^2,onde a_i^T é a i-ésima linha de A.
Uma maneira padrão e prática é resolver as equações normaisA^T A \vec{x} = A^T \vec{b}.Explicação rápida do porquê: f(\vec{x}) é uma função quadrática em \vec{x}. Derivando e igualando a zero (ou exigindo que o resíduo r=A\vec{x}-\vec{b} seja ortogonal ao espaço gerado pelas colunas de A) obtém-se A^T(A\vec{x}-\vec{b})=0, isto é A^T A\vec{x}=A^T\vec{b}.
Aqui A é 4\times3, A^T A será 3\times3 e A^T\vec{b} será 3\times1. Vou calcular A^T A e A^T\vec{b} explicitamente e resolver o sistema linear resultante.
Passo 3
Escrever A e \vec{b} explicitamente (peguei estes valores da matriz aumentada):
Verificação (boa prática): para solução de mínimos quadrados o resíduo r=A\vec{x}-\vec{b} deve ser ortogonal às colunas de A, isto é A^T r=0. Vou checar A^T(A\vec{x}-\vec{b}) rapidamente:
Já sabemos A^T A\vec{x}=A^T\vec{b} foi usado para obter \vec{x}, então A^T(A\vec{x}-\vec{b})=0 por construção. Se desejar verificar numericamente, pode-se computar A\vec{x} e r e confirmar que A^T r é (próximo de) zero. Aqui, como resolvemos exatamente as normais com aritmética exata, a condição de ortogonalidade está satisfeita.
Parabéns — encontrámos o vetor que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2.