Assinale o valor de x_{1}, a 1^{a} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada dada, e pergunta especificamente o valor de x_{1} (a primeira entrada da solução \vec{x}).\n
As informações fornecidas pela matriz aumentada (peguei esses dados diretamente da matriz aumentada do enunciado) são as linhas do sistema, isto é, a matriz A e o vetor \vec{b}:
O que preciso encontrar: a solução \vec{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\end{pmatrix} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}, e então informar o valor de x_{1}.]
Passo 2
Entendendo o método dos mínimos quadrados (a ideia e a fórmula):\n
Queremos minimizar a função
Para encontrar o mínimo, calculamos o gradiente em relação a \vec{x} e igualamos a zero. Isso leva às chamadas equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui \;A^{T} é a transposta de A, \;A^{T}A é uma matriz quadrada 3\times3 e \;A^{T}\vec{b} é um vetor 3\times1. Resolver essas equações normais fornece a solução de mínimos quadrados \vec{x}. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular A^{T}A. Primeiro enumero as colunas de A (peguei os valores diretamente da matriz acima):
Calcular A^{T}\vec{b}. Vou usar as mesmas colunas c_{1},c_{2},c_{3} e o vetor \vec{b}=\begin{pmatrix}-9\\[2pt]-9\\[2pt]1\\[2pt]-5\end{pmatrix} (peguei \vec{b} da matriz aumentada). Os componentes de A^{T}\vec{b} são c_{i}\cdot\vec{b}:\n