Q17: Encontre a soluçīo, no sentido dos minimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 2 & 3 & -9 \\\\ -1 & 2 & 1 & -9 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 & -5 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{1}, a 1^{a} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada dada, e pergunta especificamente o valor de x_{1} (a primeira entrada da solução \vec{x}).\n
As informações fornecidas pela matriz aumentada (peguei esses dados diretamente da matriz aumentada do enunciado) são as linhas do sistema, isto é, a matriz A e o vetor \vec{b}:
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\\[2pt] -1 & 2 & 1\\[2pt] 1 & 0 & 1\\[2pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}-9\\[2pt]-9\\[2pt]1\\[2pt]-5\end{pmatrix}.
O que preciso encontrar: a solução \vec{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\end{pmatrix} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}, e então informar o valor de x_{1}.]

Passo 2

Entendendo o método dos mínimos quadrados (a ideia e a fórmula):\n
Queremos minimizar a função
f(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}=(A\vec{x}-\vec{b})^{T}(A\vec{x}-\vec{b}).
Para encontrar o mínimo, calculamos o gradiente em relação a \vec{x} e igualamos a zero. Isso leva às chamadas equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui \;A^{T} é a transposta de A, \;A^{T}A é uma matriz quadrada 3\times3 e \;A^{T}\vec{b} é um vetor 3\times1. Resolver essas equações normais fornece a solução de mínimos quadrados \vec{x}. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular A^{T}A. Primeiro enumero as colunas de A (peguei os valores diretamente da matriz acima):
\text{coluna 1 } c_{1}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix},\quad \text{coluna 2 } c_{2}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad \text{coluna 3 } c_{3}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Os elementos de A^{T}A são produtos internos entre essas colunas: (A^{T}A)_{ij}=c_{i}\cdot c_{j}.\n
Calculo cada produto interno:
c_{1}\cdot c_{1}=(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}=4,
c_{1}\cdot c_{2}=(-1)\cdot2+(-1)\cdot2+1\cdot0+(-1)\cdot0=-4,
c_{1}\cdot c_{3}=(-1)\cdot3+(-1)\cdot1+1\cdot1+(-1)\cdot1=-4,
c_{2}\cdot c_{2}=2^{2}+2^{2}+0+0=8,
c_{2}\cdot c_{3}=2\cdot3+2\cdot1+0+0=8,
c_{3}\cdot c_{3}=3^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=12.
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix} 4 & -4 & -4\\[2pt] -4 & 8 & 8\\[2pt] -4 & 8 & 12 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{T}\vec{b}. Vou usar as mesmas colunas c_{1},c_{2},c_{3} e o vetor \vec{b}=\begin{pmatrix}-9\\[2pt]-9\\[2pt]1\\[2pt]-5\end{pmatrix} (peguei \vec{b} da matriz aumentada). Os componentes de A^{T}\vec{b} são c_{i}\cdot\vec{b}:\n
c_{1}\cdot\vec{b}=(-1)(-9)+(-1)(-9)+1\cdot1+(-1)(-5)=9+9+1+5=24,
c_{2}\cdot\vec{b}=2(-9)+2(-9)+0\cdot1+0(-5)=-18-18=-36,
c_{3}\cdot\vec{b}=3(-9)+1(-9)+1\cdot1+1(-5)=-27-9+1-5=-40.
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}24\\[2pt]-36\\[2pt]-40\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora resolvo o sistema linear das equações normais
\begin{pmatrix} 4 & -4 & -4\\[2pt] -4 & 8 & 8\\[2pt] -4 & 8 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24\\[2pt]-36\\[2pt]-40\end{pmatrix}.
Faço eliminação por linhas de forma clara e com contas passo a passo.\n
Primeiro, divido a primeira linha por 4 para simplificar:
\text{(R1)}:\; (1\; -1\; -1\;|\;6).
Aplicando \text{R2}\leftarrow\text{R2}+4\cdot\text{R1} e \text{R3}\leftarrow\text{R3}+4\cdot\text{R1} elimino a primeira coluna nas linhas 2 e 3:
\text{R2}:\; (0\;4\;4\;|\;-12),\qquad \text{R3}:\; (0\;4\;8\;|\;-16).]

Passo 6

Continuo a eliminação. Divido \text{R2} por 4:
\text{R2}:\; (0\;1\;1\;|\;-3).
Elimino a coluna 2 da \text{R3} usando \text{R3}\leftarrow\text{R3}-4\cdot\text{R2}:
\text{R3}:\; (0\;0\;4\;|\;-4).
Da \text{R3} obtemos imediatamente 4x_{3}=-4, logo
x_{3}=\frac{-4}{4}=-1.
Substituindo em \text{R2} (que é x_{2}+x_{3}=-3):
x_{2}=-3-x_{3}=-3-(-1)=-2.
Finalmente, substituo x_{2} e x_{3} em \text{R1} (que é x_{1}-x_{2}-x_{3}=6):
x_{1}=6+x_{2}+x_{3}=6+(-2)+(-1)=3.

Passo 7

Concluímos que a solução de mínimos quadrados é
\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-2\\[2pt]-1\end{pmatrix},
portanto a primeira entrada é x_{1}=3. Você conseguiu! Mesmo com pouco tempo dá pra andar bem quando a gente organiza os passos.]

Resposta

(G)

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