Seja V um espaço de dimensão finita com produto interno, e seja \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base ortogonal para V. Mostre que para quaisquer vetores v, u \in V
\langle v, u\rangle=\sum_{k=1}^{n}\left\langle v, v_{k}\right\rangle \overline{\left\langle u, v_{k}\right\rangle}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dados: V é um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno; \{v_{1},\ldots,v_{n}\} é uma base ortogonal de V.
  • Pedido: mostrar que, para quaisquer vetores v,u\in V,
\langle v, u\rangle=\sum_{k=1}^{n}\left\langle v, v_{k}\right\rangle \overline{\left\langle u, v_{k}\right\rangle}.
Observações importantes (extraídas do enunciado): como \{v_k\} é base, cada vetor de V pode ser escrito de forma única como combinação linear dos v_k; como a base é ortogonal, \langle v_i,v_j\rangle=0 sempre que i\neq j. Não fazemos ainda nenhuma manipulação — apenas listamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever v e u nas coordenadas da base ortogonal. Como \{v_k\} é uma base, existem escalares (complexos, no caso geral) \alpha_1,\dots,\alpha_n e \beta_1,\dots,\beta_n tais que
v=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k v_k,\qquad u=\sum_{k=1}^{n}\beta_k v_k.
Explico por que isso é possível e único: uma base gera V (qualquer vetor é combinação linear) e os coeficientes são únicos por definição de base. Também observe que, por ser base, cada v_k é não-nulo: \langle v_k,v_k\rangle>0.

Passo 3

Agora uso linearidade do produto interno na primeira entrada e conjugação na segunda (convenção usual: \langle \alpha x,y\rangle=\alpha\langle x,y\rangle e \langle x,\alpha y\rangle=\overline{\alpha}\langle x,y\rangle). Calculo \langle v,u\rangle expandindo as somas:
\langle v,u\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^{n}\alpha_i v_i,\; \sum_{j=1}^{n}\beta_j v_j\right\rangle = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \alpha_i\overline{\beta_j}\,\langle v_i,v_j\rangle.
Aqui usei que o produto interno é linear na primeira parcela e conjugado-linear na segunda, portanto o fator \beta_j aparece conjugado.

Passo 4

Usando a ortogonalidade da base, \langle v_i,v_j\rangle=0 sempre que i\neq j. Assim, na soma dupla acima só permanecem os termos com i=j. Portanto
\langle v,u\rangle = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k\,\overline{\beta_k}\,\langle v_k,v_k\rangle.
Esse passo é só cancelar todos os termos cruzados graças à ortogonalidade.

Passo 5

Agora relaciono os coeficientes \alpha_k e \beta_k com produtos internos. Para qualquer índice fixo j,
\langle v, v_j\rangle = \left\langle \sum_{k=1}^{n}\alpha_k v_k,\; v_j\right\rangle = \sum_{k=1}^{n}\alpha_k \langle v_k,v_j\rangle = \alpha_j \langle v_j,v_j\rangle,
onde na última igualdade usei de novo a ortogonalidade (só o termo k=j sobrevive). Assim
\alpha_j = \frac{\langle v, v_j\rangle}{\langle v_j,v_j\rangle}.
De forma análoga,
\beta_j = \frac{\langle u, v_j\rangle}{\langle v_j,v_j\rangle}.
Ao tomar conjugado, \overline{\beta_j} = \dfrac{\overline{\langle u,v_j\rangle}}{\langle v_j,v_j\rangle} porque \langle v_j,v_j\rangle é real positivo e sua conjugada é ele mesmo.

Passo 6

Substituo \alpha_k e \overline{\beta_k} na expressão obtida no Passo 4:
\langle v,u\rangle = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{\langle v, v_k\rangle}{\langle v_k,v_k\rangle}\right) \left(\frac{\overline{\langle u, v_k\rangle}}{\langle v_k,v_k\rangle}\right)\langle v_k,v_k\rangle = \sum_{k=1}^{n}\frac{\langle v, v_k\rangle\,\overline{\langle u, v_k\rangle}}{\langle v_k,v_k\rangle}.
Simplificando um dos fatores \langle v_k,v_k\rangle (um cancela), obtemos a fórmula válida para uma base ortogonal geral:
\langle v,u\rangle=\sum_{k=1}^{n}\frac{\langle v, v_k\rangle\,\overline{\langle u, v_k\rangle}}{\langle v_k,v_k\rangle}.

Passo 7

Conclusão final em relação ao enunciado: se a base dada for, além de ortogonal, ortonormal — isto é, se para todo k tivermos \langle v_k,v_k\rangle=1 — então o denominador acima é 1 e a expressão simplifica exatamente para
\langle v, u\rangle=\sum_{k=1}^{n}\left\langle v, v_{k}\right\rangle \overline{\left\langle u, v_{k}\right\rangle},
que é a identidade pedida. Portanto mostramos a fórmula geral (com o fator \langle v_k,v_k\rangle no denominador) e explicamos como ela reduz-se ao caso pedido quando a base é ortonormal.

Resposta

\displaystyle \langle v,u\rangle=\sum_{k=1}^{n}\frac{\langle v, v_k\rangle\,\overline{\langle u, v_k\rangle}}{\langle v_k,v_k\rangle} \
(se a base é ortonormal, \langle v_k,v_k\rangle=1 e assim \displaystyle \langle v,u\rangle=\sum_{k=1}^{n}\langle v,v_k\rangle\,\overline{\langle u,v_k\rangle}).

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