Seja
o subespaço de
dos polinômios de grau no máximo 3. Equipe
com o produto interno
- Encontre o complemento ortogonal do subespaço dos polinômios escalares.
- Aplique o processo de Gram-Schmidt na base $\left{1, x, x^{2}, x^{3}\right}.
Passo 1
O enunciado dá o espaço
dos polinômios com grau no máximo 3 (ou seja,
) equipado com o produto interno
As perguntas são:
- Encontrar o complemento ortogonal do subespaço dos polinômios escalares (ou seja, do subespaço gerado por
). - Aplicar o processo de Gram–Schmidt à base
usando esse produto interno.
Informações relevantes dadas:
-
tem dimensão . - O subespaço dos polinômios escalares é
. - O produto interno envolve integrais sobre
.
Passo 2
Condição para ser ortogonal a todos os escalares: um polinômio
pertence ao complemento ortogonal de
se, e somente se,
Portanto o complemento ortogonal é o conjunto de polinômios de grau
com média zero em
.
Uma base conveniente e simples para esse subespaço é dada pelos três polinômios
porque cada um tem integral zero em
. Vou verificar isso explicitamente:
Argumento de independência linear (curto): cada um desses polinômios tem maior termo dominante
,
,
respectivamente; portanto não há combinação linear não trivial que cancele simultaneamente os coeficientes dos maiores graus, logo são linearmente independentes. Como o complemento ortogonal tem dimensão
(dim
é
, a dimensão do subespaço gerador por
é
), estes três formam uma base do complemento ortogonal.
Passo 3
Vou aplicar Gram–Schmidt à base
. Relembre a fórmula do processo: construímos vetores ortogonais
por
Depois, se quisermos uma base ortonormal, normalizamos
.
Vou calcular passo a passo os produtos internos necessários (sempre integrando em
).
Passo 4
Primeiro:
Norma ao quadrado:
Portanto
já está calculado.
Passo 5
Agora
:
Logo
Então
Calcule a norma ao quadrado de
:
Passo 6
Agora
. Primeiro projetar
em
e
.
Proj. em
:
logo
.
Proj. em
:
Já temos
, então
Logo
Simplificando,
Norma ao quadrado:
calculemos
calculemos
Expandindo e integrando (fiz a conta explícita), obtemos
Passo 7
Agora
. Precisamos das projeções de
sobre
.
Primeiro
Segundo, sobre
:
Como
,
Terceiro, sobre
:
Como
,
Agora subtrai todas as projeções:
Substituindo e simplificando (colocando tudo em termos de potências de
) obtemos
Norma ao quadrado de
: ao expandir
e integrar termo a termo (cálculo direto mostrado nos passos), chega-se ao valor
Passo 8
Resumo dos vetores ortogonais resultantes do processo de Gram–Schmidt:
As normas ao quadrado são
Logo uma base ortonormal (se desejar) é dada por
; explicitamente:
Observação rápida e motivadora: esses polinômios ortogonais são, à escala, os polinômios de Legendre deslocados para o intervalo
. Fica baita ideia para provas: o processo deu polinômios ortogonais de graus
com as normas que calculei — se precisar de forma ortonormal, basta multiplicar por essas constantes.
Resposta
O complemento ortogonal de
é
, por exemplo
A aplicação de Gram–Schmidt à base
fornece uma base ortogonal
e a base ortonormal correspondente é