A pergunta final é: qual é a segunda entrada \;x_{2}\; da solução \vec{x} no sentido dos mínimos quadrados?]
Passo 2
Conceito e método (aula rápida e prática). Quando o sistema Q\vec{x}=\vec{b} é overdeterminado (mais equações que incógnitas), pode não existir \vec{x} que satisfaça exatamente todas as equações. A solução de mínimos quadrados é aquela que minimiza o quadrado da norma do resíduo \|\;Q\vec{x}-\vec{b}\;\|^{2}. Para encontrar essa solução usamos as equações normais:
Q^{T}Q\vec{x}=Q^{T}\vec{b}.
Aqui Q^{T} é a transposta de Q. A ideia por trás dessa equação é igualar a derivada (gradiente) do erro quadrático a zero — isto produz o sistema linear acima para \vec{x}.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente Q^{T}. A transposta troca linhas por colunas, logo
Interpretação final e checagem rápida (tranquilo, só para confirmar). A solução de mínimos quadrados é \vec{x}=(2,3)^{T}. A segunda entrada é \;x_{2}=3. Se quiser checar o resíduo: