Q12: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear Q \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo:
\left[\begin{array}{rr|r} -2 & 1 & -3 \\\\ 1 & -2 & -6 \\\\ 2 & 2 & 9 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{2}, a 2^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) 3
(B) -3
(C) -1
(D) -2

Passo 1

O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear Q\vec{x}=\vec{b} dado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rr|r} -2 & 1 & -3 \\\\ 1 & -2 & -6 \\\\ 2 & 2 & 9 \end{array}\right].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Q=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 1 & -2 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-6\\[4pt]9\end{pmatrix}.
A pergunta final é: qual é a segunda entrada \;x_{2}\; da solução \vec{x} no sentido dos mínimos quadrados?]

Passo 2

Conceito e método (aula rápida e prática). Quando o sistema Q\vec{x}=\vec{b} é overdeterminado (mais equações que incógnitas), pode não existir \vec{x} que satisfaça exatamente todas as equações. A solução de mínimos quadrados é aquela que minimiza o quadrado da norma do resíduo \|\;Q\vec{x}-\vec{b}\;\|^{2}. Para encontrar essa solução usamos as equações normais:
Q^{T}Q\vec{x}=Q^{T}\vec{b}.
Aqui Q^{T} é a transposta de Q. A ideia por trás dessa equação é igualar a derivada (gradiente) do erro quadrático a zero — isto produz o sistema linear acima para \vec{x}.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente Q^{T}. A transposta troca linhas por colunas, logo
Q^{T}=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 2\\[4pt] 1 & -2 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular Q^{T}Q. Cada entrada (i,j) de Q^{T}Q é o produto interno entre a coluna i de Q e a coluna j de Q. Fazendo as contas:
(Q^{T}Q)_{11}=(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}=4+1+4=9,
(Q^{T}Q)_{12}=(-2)\cdot 1 + 1\cdot(-2) + 2\cdot 2 = -2-2+4=0,
(Q^{T}Q)_{22}=1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}=1+4+4=9.
Portanto
Q^{T}Q=\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt] 0 & 9\end{pmatrix}=9I_{2}.]

Passo 5

Calcular Q^{T}\vec{b}. Cada componente é um produto interno entre uma coluna de Q e o vetor \vec{b}:
(Q^{T}\vec{b})_{1}=(-2)(-3)+1(-6)+2(9)=6-6+18=18,
(Q^{T}\vec{b})_{2}=1(-3)+(-2)(-6)+2(9)=-3+12+18=27.
Logo
Q^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}18\\[4pt]27\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver as equações normais Q^{T}Q\vec{x}=Q^{T}\vec{b}. Substituindo o que já calculamos:
9I_{2}\vec{x}=\begin{pmatrix}18\\[4pt]27\end{pmatrix}.
Isto é equivalente a
9\vec{x}=\begin{pmatrix}18\\[4pt]27\end{pmatrix}.
Dividindo por 9 componente a componente:
\vec{x}=\begin{pmatrix}18/9\\[4pt]27/9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida (tranquilo, só para confirmar). A solução de mínimos quadrados é \vec{x}=(2,3)^{T}. A segunda entrada é \;x_{2}=3. Se quiser checar o resíduo:
Q\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-4\\[4pt]10\end{pmatrix},\qquad Q\vec{x}-\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},
e \|Q\vec{x}-\vec{b}\|^{2}=2^{2}+2^{2}+1^{2}=9 (um valor finito; é o mínimo pelo método das normais).]

Resposta

(A) 3

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