(Q10-ITA/2002) Dada a função quadrática \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2} \ell \mathrm{n} \frac{2}{3}+\mathrm{x} \ell \mathrm{n} 6-\frac{1}{4} \ell \mathrm{n} \frac{3}{2} temos que:
a) a equação f(x)=0 não possui raízes reais.
b) a equação f(x)=0 possui duas raízes reais distintas e o gráfico de \mathbf{f} possui concavidade para cima.
c) a equação f(x)=0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui concavidade para baixo.
d) o valor máximo de f é \frac{\ln 2 \ln 3}{\ln 3-\ln 2}.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}\ln\frac{2}{3}+\mathrm{x}\ln 6-\frac{1}{4}\ln\frac{3}{2}.
Itens oferecidos:
a) a equação f(x)=0 não possui raízes reais.
b) a equação f(x)=0 possui duas raízes reais distintas e o gráfico de f possui concavidade para cima.
c) a equação f(x)=0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui concavidade para baixo.
d) o valor máximo de f é \dfrac{\ln 2\ln 3}{\ln 3-\ln 2}.
Informações relevantes extraídas da função (os coeficientes da quadrática):
  • coeficiente quadrático A=\ln\frac{2}{3},
  • coeficiente linear B=\ln 6,
  • termo constante C=-\dfrac{1}{4}\ln\frac{3}{2}.

Passo 2

Interpretação da concavidade de uma parábola quadrática. Para uma função quadrática f(x)=Ax^2+Bx+C:
  • se A>0 a parábola tem concavidade para cima (mínimo);
  • se A<0 a parábola tem concavidade para baixo (máximo).
Agora avaliar A=\ln\frac{2}{3}. Usando propriedades de logaritmo:
\ln\frac{2}{3}=\ln 2-\ln 3.
Como \ln 3>\ln 2, então \ln 2-\ln 3<0. Portanto
A=\ln\frac{2}{3}<0,
logo a parábola tem concavidade para baixo (tem um valor máximo). Assim qualquer alternativa que afirme concavidade para cima está errada (por exemplo a alternativa b).

Passo 3

Verificar quantas raízes reais existem: usar o discriminante. Para Ax^2+Bx+C=0 o discriminante é
\Delta=B^{2}-4AC.
Defina, para simplificar os cálculos, p=\ln 2 e q=\ln 3. Então escrevemos os coeficientes em termos de p,q:
A=\ln\frac{2}{3}=p-q,\qquad B=\ln 6=\ln(2\cdot3)=p+q,
C=-\frac{1}{4}\ln\frac{3}{2}=-\frac{1}{4}(q-p)=\frac{1}{4}(p-q).
Observe que C=\dfrac{1}{4}A.
Agora calcule \Delta:
\Delta=(p+q)^{2}-4(p-q)\cdot\frac{1}{4}(p-q).
Em seguida
\Delta=(p+q)^{2}-(p-q)^{2}.
Usando a identidade de diferença de quadrados:
\Delta=\bigl((p+q)+(p-q)\bigr)\bigl((p+q)-(p-q)\bigr)= (2p)(2q)=4pq.
Como p=\ln 2>0 e q=\ln 3>0, segue \Delta=4\ln2\ln3>0. Portanto a equação f(x)=0 possui duas raízes reais distintas (discriminante positivo). Isso elimina a alternativa a (sem raízes) e a alternativa c (raízes iguais, que exigiria \Delta=0).

Passo 4

Calcular o valor máximo de f. Para uma quadrática com A<0 o vértice fornece o valor máximo, e a fórmula do valor no vértice é
f_{\text{vértice}}=-\frac{\Delta}{4A},é
pois \Delta=B^{2}-4AC.
Já temos \Delta=4pq e A=p-q. Então
f_{\text{max}}=-\frac{4pq}{4(p-q)}=-\frac{pq}{p-q}.
Lembrando que p-q=\ln2-\ln3=-(\ln3-\ln2), obtemos
f_{\text{max}}=\frac{pq}{q-p}=\frac{\ln 2\ln 3}{\ln 3-\ln 2}.
Como A<0, esse valor é realmente um máximo. Portanto a alternativa d está correta.

Passo 5

Conclusão final: a única alternativa correta é a alternativa d, que dá corretamente o valor máximo encontrado no vértice.

Resposta

d) \dfrac{\ln 2\ln 3}{\ln 3-\ln 2}

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