(Q10-ITA/2002) Dada a função quadrática
temos que:
a) a equação
não possui raízes reais.
b) a equação
possui duas raízes reais distintas e o gráfico de
possui concavidade para cima.
c) a equação
possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui concavidade para baixo.
d) o valor máximo de f é
.
a) a equação
b) a equação
c) a equação
d) o valor máximo de f é
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
Itens oferecidos:
a) a equação não possui raízes reais.
b) a equação possui duas raízes reais distintas e o gráfico de
possui concavidade para cima.
c) a equação possui duas raízes reais iguais e o gráfico de
possui concavidade para baixo.
d) o valor máximo de é
.
a) a equação
b) a equação
c) a equação
d) o valor máximo de
Informações relevantes extraídas da função (os coeficientes da quadrática):
- coeficiente quadrático
, - coeficiente linear
, - termo constante
.
Passo 2
Interpretação da concavidade de uma parábola quadrática. Para uma função quadrática
:
- se
a parábola tem concavidade para cima (mínimo); - se
a parábola tem concavidade para baixo (máximo).
Agora avaliar
. Usando propriedades de logaritmo:
Como
, então
. Portanto
logo a parábola tem concavidade para baixo (tem um valor máximo). Assim qualquer alternativa que afirme concavidade para cima está errada (por exemplo a alternativa b).
Passo 3
Verificar quantas raízes reais existem: usar o discriminante. Para
o discriminante é
Defina, para simplificar os cálculos,
e
. Então escrevemos os coeficientes em termos de
:
Observe que
.
Agora calcule
:
Em seguida
Usando a identidade de diferença de quadrados:
Como
e
, segue
. Portanto a equação
possui duas raízes reais distintas (discriminante positivo). Isso elimina a alternativa a (sem raízes) e a alternativa c (raízes iguais, que exigiria
).
Passo 4
Calcular o valor máximo de
. Para uma quadrática com
o vértice fornece o valor máximo, e a fórmula do valor no vértice é
pois
.
Já temos
e
. Então
Lembrando que
, obtemos
Como
, esse valor é realmente um máximo. Portanto a alternativa d está correta.
Passo 5
Conclusão final: a única alternativa correta é a alternativa d, que dá corretamente o valor máximo encontrado no vértice.
Resposta
d)