Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas.
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação
cujo domínio é o espaço das matrizes
reais e contradomínio é
. Escrevendo a matriz genérica com entradas
na ordem habitual:
a transformação é definida por
O que o enunciado pede:
- Verificar se
é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). - Se for bijetora, determinar a transformação inversa
. Se não for, explicar por quê.]
Passo 2
Vamos primeiro verificar que
é linear (isso é necessário para usar argumentos de núcleo/imagem e o teorema do posto-nulidade).
Definição prática de linearidade: uma aplicação é linear se, para quaisquer matrizes
e qualquer escalar
,
Definição prática de linearidade: uma aplicação
Sejam
Então
e aplicando
obtemos
Agrupando termos isto é exatamente
De modo análogo, para
,
e
Portanto
é linear. (Comentário rápido: resumi a verificação com contas diretas — é sempre um bom hábito assim na prova.)]
Passo 3
Agora vamos estudar a sobrejetividade (se a imagem de
é todo
).
Queremos ver se, dado um real arbitrário , existe uma matriz
tal que
.
Escolha a matriz simples
Queremos ver se, dado um real arbitrário
Escolha a matriz simples
Aplicando
,
Como isso vale para qualquer
, concluímos que a imagem de
é todo
, isto é,
logo
é sobrejetora.]
Passo 4
Agora a injetividade. Para isso usamos o núcleo (kernel) de
, que é o conjunto de matrizes que vão para
:
Se
fosse injetora então
seria apenas a matriz nula. Mas aqui a equação
tem muitas soluções além de
. Por exemplo,
pois
, e essa matriz é diferente da matriz nula. Portanto
, o que implica que
não é injetora.]
Passo 5
Podemos também usar o teorema do posto-nulidade (rank-nullity) para quantificar as dimensões e reforçar o argumento. O espaço
tem dimensão
(quatro entradas livres). Já vimos que
tem dimensão
. O teorema do posto-nulidade diz:
Logo
Isto confirma que há um subespaço de dimensão
de matrizes que vão para zero — portanto vários vetores (matrizes) colapsam para o mesmo valor em
, impedindo a injetividade.
Passo 6
Conclusão sobre bijetividade e inversa: como
é sobrejetora mas não injetora, não é bijetora. Portanto NÃO existe uma transformação inversa
que seja inversa à esquerda e à direita ao mesmo tempo (isto é, não há bijeção, logo não há inversa no sentido usual).
Entretanto, um comentário útil para a prova: embora não exista inversa global, existe uma seção (uma “inversa à direita”) linear
tal que
. Um exemplo simples é
De fato
. Isso não contradiz a falta de inversa:
não é a inversa de
porque
não é injetora (não existe
com
).]
Resposta
T não é bijetora; T é sobrejetora e não injetora.
.
(dimensão
). Não existe
(inversa global). Uma seção (inversa à direita) exemplificativa é
, pois
.]