Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-1,1,-2),(0,-1,4)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(2,6,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e tem a forma \vec{x}=(1,x_{2},x_{3}). Depois, identificar o valor de x_{3}.
  • Dados:
    • H=\operatorname{span}\{(-1,1,-2),(0,-1,4)\}.
    • M=\operatorname{span}\{(2,6,1)\}.
  • Observação importante: o vetor procurado deve estar simultaneamente em H e em M^{\perp}, e ter primeira coordenada igual a 1.

Passo 2

Escrever um vetor genérico de H como combinação linear dos geradores.
Seja u_{1}=(-1,1,-2) e u_{2}=(0,-1,4). Um vetor qualquer em H pode ser escrito como
\vec{x}=a\,u_{1}+b\,u_{2}.
Calculando coordenada a coordenada,
\vec{x}=a(-1,1,-2)+b(0,-1,4)=(-a,\;a-b,\;-2a+4b).

Passo 3

Impor a condição de que a primeira coordenada é 1 e simplificar.
A primeira coordenada de \vec{x} é -a. Como queremos \vec{x}=(1,x_{2},x_{3}), temos
-a=1.
Daí
a=-1.
Substituindo a=-1 nas demais coordenadas obtemos uma expressão em função de b:
x_{2}=a-b=-1-b, \qquad x_{3}=-2a+4b=2+4b.
Portanto, todo vetor de H com primeira coordenada 1 tem a forma
\vec{x}=(1,\; -1-b,\; 2+4b),
com b\in\mathbb{R}.

Passo 4

Caracterizar M^{\perp} pela ortogonalidade com o gerador de M.
Como M=\operatorname{span}\{(2,6,1)\}, o subespaço M^{\perp} é o conjunto dos vetores ortogonais a (2,6,1). A condição de ortogonalidade é o produto escalar igual a zero. Para \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}) vale
\vec{x}\cdot(2,6,1)=0.
No nosso caso x_{1}=1, então a condição fica
2\cdot 1 + 6x_{2} + 1\cdot x_{3}=0.

Passo 5

Substituir a forma de \vec{x} obtida no Passo 3 na condição de ortogonalidade e resolver para b.
Substituindo x_{2}=-1-b e x_{3}=2+4b na equação do Passo 4:
2 + 6(-1-b) + (2+4b)=0.
Calcular cada termo:
2 -6 -6b + 2 + 4b = 0.
Somando constantes e coeficientes de b
(-2) + (-2b)=0.
Logo
-2b=2,
portanto
b=-1.

Passo 6

Determinar x_{3} usando b=-1 e verificar unicidade.
Com b=-1 temos
x_{3}=2+4b=2+4(-1)=2-4=-2.
Este b é único porque a condição de ortogonalidade deu uma equação linear que tem solução única para b. Assim existe exatamente um vetor em M^{\perp}\cap H com primeira coordenada 1, e sua terceira coordenada é -2.

Resposta

(A) -2

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