Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: encontrar o único vetor
que pertence a e tem a forma . Depois, identificar o valor de . - Dados:
-
. -
.
-
- Observação importante: o vetor procurado deve estar simultaneamente em
e em , e ter primeira coordenada igual a .
Passo 2
Escrever um vetor genérico de
como combinação linear dos geradores.
Seja
e
. Um vetor qualquer em
pode ser escrito como
Calculando coordenada a coordenada,
Passo 3
Impor a condição de que a primeira coordenada é
e simplificar.
A primeira coordenada de
é
. Como queremos
, temos
Daí
Substituindo
nas demais coordenadas obtemos uma expressão em função de
:
Portanto, todo vetor de
com primeira coordenada
tem a forma
com
.
Passo 4
Caracterizar
pela ortogonalidade com o gerador de
.
Como
, o subespaço
é o conjunto dos vetores ortogonais a
. A condição de ortogonalidade é o produto escalar igual a zero. Para
vale
No nosso caso
, então a condição fica
Passo 5
Substituir a forma de
obtida no Passo 3 na condição de ortogonalidade e resolver para
.
Substituindo
e
na equação do Passo 4:
Calcular cada termo:
Somando constantes e coeficientes de
dá
Logo
portanto
Passo 6
Determinar
usando
e verificar unicidade.
Com
temos
Este
é único porque a condição de ortogonalidade deu uma equação linear que tem solução única para
. Assim existe exatamente um vetor em
com primeira coordenada
, e sua terceira coordenada é
.
Resposta
(A) -2