Seção 7.7: 1) Dada f(x), calcule a derivada f^{\prime}(x) para:
(a) f(x)=3 x^{3}+\frac{1}{4} x^{2}+\sqrt[3]{x};(b) f(x)=\frac{x+1}{\operatorname{tg}(x)}; (c) f(x)=x^{2} \ln (x)+2 r^{x}+\frac{x+1}{x \ln (x)}.
2) Seja f(x)=x^{3}+3 x. (a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0; (b) Estude o sinal de f^{\prime}(x); (c) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Vou separar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Questão 1: "Dada f(x), calcule a derivada f'(x)" para três funções:
    • (a) f(x)=3 x^{3}+\dfrac{1}{4} x^{2}+\sqrt[3]{x}.
    • (b) f(x)=\dfrac{x+1}{\operatorname{tg}(x)}. (Observação: \operatorname{tg}(x) é a mesma coisa que \tan x.)
    • (c) f(x)=x^{2}\ln(x)+2\,r^{x}+\dfrac{x+1}{x\ln(x)}.
    O pedido é: encontrar a expressão de f'(x) para cada caso, e prestar atenção ao domínio onde a derivada faz sentido.
  • Questão 2: Seja f(x)=x^{3}+3x.
    • (a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0.
    • (b) Estude o sinal de f'(x) (ou seja, onde f' é positiva/negativa/zero).
    • (c) Esboce (descreva) o gráfico de f.
Observações importantes (dados úteis que usarei):
  • As regras de derivação básicas que vou usar:
    • Regra da soma: \dfrac{d}{dx}[u+v]=u'+v'.
    • Regra do poder (para n real): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} (atenção a x=0 quando n<1 ou n negativo).
    • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'.
    • Regra do quociente: \dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{u}{v}\right]=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} (quando v\neq0).
    • Derivadas trigonométricas: \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x, \dfrac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x.
    • Derivada da função exponencial com base a>0: \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a.
    • Derivada do logaritmo natural: \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} (domínio x>0).
Agora começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Resolvendo 1(a): f(x)=3 x^{3}+\dfrac{1}{4} x^{2}+\sqrt[3]{x}.
  1. Reescrevo a raiz cúbica como potência: \sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Assim
f(x)=3x^{3}+\tfrac{1}{4}x^{2}+x^{1/3}.
  1. Vou derivar termo a termo usando a regra do poder:
  • Para 3x^{3}: \dfrac{d}{dx}[3x^{3}]=3\cdot 3x^{2}=9x^{2}.
  • Para \tfrac{1}{4}x^{2}: \dfrac{d}{dx}\!\left[\tfrac{1}{4}x^{2}\right]=\tfrac{1}{4}\cdot 2x=\tfrac{1}{2}x.
  • Para x^{1/3}: \dfrac{d}{dx}x^{1/3}=\tfrac{1}{3}x^{1/3-1}=\tfrac{1}{3}x^{-2/3}. Atenção: essa fórmula exige x\neq0 (porque aparece x^{-2/3}). De fato, a derivada de x^{1/3} em x=0 não é finita (o limite diferencial tende ao infinito), portanto a expressão \tfrac{1}{3}x^{-2/3} vale apenas para x\neq0.
  1. Somando:
f'(x)=9x^{2}+\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{3}x^{-2/3},\qquad (x\neq0).
  1. Observação sobre differenciabilidade em x=0: Apesar dos dois primeiros termos serem bem definidos em 0, o terceiro tem comportamento singular em 0, logo a função original não tem derivada finita em x=0. Conclusão: a fórmula acima vale para x\neq0; em x=0 f' não existe (não é finito).

Passo 3

Resolvendo 1(b): f(x)=\dfrac{x+1}{\operatorname{tg}(x)}.
  1. Interpreto \operatorname{tg}(x)=\tan x. Posso reescrever convenientemente usando \cot x=\dfrac{1}{\tan x}:
f(x)=(x+1)\cot x.
Essa forma facilita usar a regra do produto.
  1. Domínio: a função original exige \tan x\neq0 e \tan x definida. Logo excluem-se os pontos onde \sin x=0 ( x=k\pi) e onde \cos x=0 ( x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi). Resumindo, os pontos proibidos são os múltiplos de \tfrac{\pi}{2}: x\neq \tfrac{k\pi}{2} para todo k\in\mathbb{Z}. Em todos os x do domínio posso derivar.
  2. Derivo usando a regra do produto. Denoto u(x)=x+1 e v(x)=\cot x.
  • u'(x)=1.
  • v'(x)=\dfrac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x.
  1. Aplicando produto:
f'(x)=u'v+uv' = 1\cdot \cot x + (x+1)\cdot(-\csc^{2}x).
  1. Simplifico:
f'(x)=\cot x-(x+1)\csc^{2}x,
válido para x no domínio ( x\neq \tfrac{k\pi}{2}).
  1. (Opcional de verificação) Se alguém preferir a regra do quociente com \tan x, chega-se a uma forma equivalente, mas a forma com \cot e \csc^{2} é mais direta.

Passo 4

Resolvendo 1(c): f(x)=x^{2}\ln(x)+2\,r^{x}+\dfrac{x+1}{x\ln(x)}.
  1. Observações sobre domínio: aparecem \ln(x) no primeiro termo e no denominador do terceiro termo; portanto exige-se x>0. Além disso, o denominador x\ln x não pode ser zero, então x\neq1 (pois \ln1=0). Conclusão: domínio prático para derivação: x>0 com x\neq1. Sobre r: para usar a fórmula \dfrac{d}{dx}r^{x}=r^{x}\ln r preciso assumir r>0. Vou assumir r>0 (se r\le0 a expressão r^{x} tem problemas gerais para x real).
  2. Derivo termo a termo:
  • Primeiro termo: x^{2}\ln x. Uso a regra do produto com u=x^{2} e v=\ln x.
    • u'=2x.
    • v'=\dfrac{1}{x}.
      Aplicando produto:
    \dfrac{d}{dx}[x^{2}\ln x]=u'v+uv' = 2x\ln x + x^{2}\cdot\dfrac{1}{x} = 2x\ln x + x.
    Posso factorar se quiser: =x(2\ln x+1).
  • Segundo termo: 2\,r^{x}. Como r>0,
    \dfrac{d}{dx}[2r^{x}] = 2r^{x}\ln r.
  • Terceiro termo: \dfrac{x+1}{x\ln x}. Faço pela regra do quociente. Defino N(x)=x+1 e D(x)=x\ln x.
    • N'(x)=1.
    • D'(x)=\dfrac{d}{dx}(x\ln x)=1\cdot\ln x + x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1.
      Aplicando quociente:
    \dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{x+1}{x\ln x}\right] =\dfrac{N' D - N D'}{D^{2}} =\dfrac{1\cdot (x\ln x) - (x+1)(\ln x+1)}{(x\ln x)^{2}}.
    Faço as contas no numerador:
    x\ln x - (x+1)(\ln x+1) =x\ln x - x\ln x - \ln x - x -1 = -\ln x -x -1.
    Portanto
    \dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{x+1}{x\ln x}\right] = -\,\dfrac{\ln x + x +1}{(x\ln x)^{2}}.
    Posso reescrever o denominador como x^{2}\ln^{2}x se preferir:
    = -\,\dfrac{\ln x + x +1}{x^{2}\ln^{2}x}.
  1. Agora somo todas as contribuições:
f'(x)=\bigl(2x\ln x + x\bigr) + 2r^{x}\ln r \;-\; \dfrac{\ln x + x +1}{x^{2}\ln^{2}x}, \qquad (x>0,\\ x\neq1,\\ r>0).
Ou de forma levemente factorada para o primeiro termo:
f'(x)=x(2\ln x+1)+2r^{x}\ln r - \dfrac{\ln x + x +1}{x^{2}\ln^{2}x}.

Passo 5

Resolvendo 2(a): f(x)=x^{3}+3x. Equação da reta tangente no ponto de abscissa 0.
  1. Calculo f(0):
f(0)=0^{3}+3\cdot0=0.
Portanto o ponto do gráfico tem coordenadas (0,0).
  1. Derivo a função:
f'(x)=\dfrac{d}{dx}(x^{3}+3x)=3x^{2}+3.
  1. Avalio a derivada em x=0:
f'(0)=3\cdot0^{2}+3=3.
Isso é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente no ponto.
  1. Equação da reta tangente com inclinação m=f'(0)=3 passando por (0,0) é
y = 3x.
(Usando a forma ponto-inclinação y-y_{0}=m(x-x_{0}).)

Passo 6

Resolvendo 2(b): estudar o sinal de f'(x).
  1. Já temos f'(x)=3x^{2}+3. Coloco em forma fatorada:
f'(x)=3(x^{2}+1).
  1. Observação: x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R} (já que x^{2}\ge0 e soma 1). Multiplicando por 3>0 mantém positividade.
  2. Conclusão: f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo f é estritamente crescente em toda a reta real. Não existem pontos críticos (onde f'=0), pois f'(x) nunca se anula.

Passo 7

Resolvendo 2(c): esboçar o gráfico de f(x)=x^{3}+3x com base nas informações anteriores.
  1. Comportamento global:
  • Como termo dominante é x^{3}, quando x\to+\infty tem f(x)\to+\infty e quando x\to-\infty tem f(x)\to-\infty.
  • A função é estritamente crescente em toda a reta (resultado do Passo 6).
  1. Simetria:
  • f é função ímpar, pois f(-x)=(-x)^{3}+3(-x)=-x^{3}-3x= - (x^{3}+3x) = -f(x). Logo o gráfico é simétrico em relação à origem.
  1. Concavidade e ponto de inflexão:
  • Segunda derivada: f''(x)=\dfrac{d}{dx}(3x^{2}+3)=6x.
  • f''(x)<0 para x<0 (concavidade para baixo), f''(x)>0 para x>0 (concavidade para cima).
  • Em x=0 temos f''(0)=0 e mudança de concavidade, portanto há um ponto de inflexão em (0,0).
  1. Alguns pontos para guiar o esboço:
  • f(0)=0.
  • f(1)=1^{3}+3\cdot1=4.
  • f(-1)=-1-3=-4.
  1. Descrição do esboço (como desenhar à mão):
  • Uma curva que atravessa a origem, sobe para a direita passando por (1,4), desce para a esquerda passando por (-1,-4).
  • É estritamente crescente, lentamente perto da origem, mas a inclinação aumenta com |x|. Concavidade muda no ponto (0,0).
  • A reta tangente em 0 tem equação y=3x (ver Passo 5), então perto da origem a curva segue essa inclinação e depois se afasta conforme a curvatura.

Resposta

1(a) f'(x)=9x^{2}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}x^{-2/3} (válida para x\neq0; em x=0 a derivada não existe).
1(b) f'(x)=\cot x-(x+1)\csc^{2}x, com domínio x\neq \dfrac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}.
1(c) f'(x)=x(2\ln x+1)+2r^{x}\ln r - \dfrac{\ln x + x +1}{x^{2}\ln^{2}x}, com x>0,\\ x\neq1 e assumindo r>0.
2(a) Equação da reta tangente: y=3x.
2(b) f'(x)=3x^{2}+3>0 para todo x\in\mathbb{R} (logo f é estritamente crescente).
2(c) Gráfico: curva ímpar, estritamente crescente, com ponto de inflexão em (0,0); passa por (0,0), (1,4), (-1,-4) e tem reta tangente y=3x em 0.

Exercícios relacionados