Seção 7.7: 1) Dada
, calcule a derivada
para:
(a)
;(b)
; (c)
.
2) Seja
. (a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa 0; (b) Estude o sinal de
; (c) Esboce o gráfico de
.
(a)
2) Seja
Passo 1
Vou separar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
-
Questão 1: "Dada
, calcule a derivada " para três funções: - (a)
. - (b)
. (Observação: é a mesma coisa que .) - (c)
.
O pedido é: encontrar a expressão depara cada caso, e prestar atenção ao domínio onde a derivada faz sentido. - (a)
-
Questão 2: Seja
. - (a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa . - (b) Estude o sinal de
(ou seja, onde é positiva/negativa/zero). - (c) Esboce (descreva) o gráfico de
.
- (a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Observações importantes (dados úteis que usarei):
- As regras de derivação básicas que vou usar:
- Regra da soma:
. - Regra do poder (para
real): (atenção a quando ou negativo). - Regra do produto:
. - Regra do quociente:
(quando ). - Derivadas trigonométricas:
, . - Derivada da função exponencial com base
: . - Derivada do logaritmo natural:
(domínio ).
- Regra da soma:
Agora começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Resolvendo 1(a):
.
- Reescrevo a raiz cúbica como potência:
. Assim
- Vou derivar termo a termo usando a regra do poder:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . Atenção: essa fórmula exige (porque aparece ). De fato, a derivada de em não é finita (o limite diferencial tende ao infinito), portanto a expressão vale apenas para .
- Somando:
- Observação sobre differenciabilidade em
: Apesar dos dois primeiros termos serem bem definidos em , o terceiro tem comportamento singular em , logo a função original não tem derivada finita em . Conclusão: a fórmula acima vale para ; em não existe (não é finito).
Passo 3
Resolvendo 1(b):
.
- Interpreto
. Posso reescrever convenientemente usando :
Essa forma facilita usar a regra do produto.
-
Domínio: a função original exige
e definida. Logo excluem-se os pontos onde ( ) e onde ( ). Resumindo, os pontos proibidos são os múltiplos de : para todo . Em todos os do domínio posso derivar. -
Derivo usando a regra do produto. Denoto
e .
-
. -
.
- Aplicando produto:
- Simplifico:
válido para
no domínio (
).
- (Opcional de verificação) Se alguém preferir a regra do quociente com
, chega-se a uma forma equivalente, mas a forma com e é mais direta.
Passo 4
Resolvendo 1(c):
.
-
Observações sobre domínio: aparecem
no primeiro termo e no denominador do terceiro termo; portanto exige-se . Além disso, o denominador não pode ser zero, então (pois ). Conclusão: domínio prático para derivação: com . Sobre : para usar a fórmula preciso assumir . Vou assumir (se a expressão tem problemas gerais para real). -
Derivo termo a termo:
-
Primeiro termo:
. Uso a regra do produto com e . -
. -
.
Aplicando produto:
Posso factorar se quiser:. -
-
Segundo termo:
. Como , -
Terceiro termo:
. Faço pela regra do quociente. Defino e . -
. -
.
Aplicando quociente:
Faço as contas no numerador:PortantoPosso reescrever o denominador comose preferir: -
- Agora somo todas as contribuições:
Ou de forma levemente factorada para o primeiro termo:
Passo 5
Resolvendo 2(a):
. Equação da reta tangente no ponto de abscissa
.
- Calculo
:
Portanto o ponto do gráfico tem coordenadas
.
- Derivo a função:
- Avalio a derivada em
:
Isso é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente no ponto.
- Equação da reta tangente com inclinação
passando por é
(Usando a forma ponto-inclinação
.)
Passo 6
Resolvendo 2(b): estudar o sinal de
.
- Já temos
. Coloco em forma fatorada:
-
Observação:
para todo (já que e soma 1). Multiplicando por mantém positividade. -
Conclusão:
para todo . Logo é estritamente crescente em toda a reta real. Não existem pontos críticos (onde ), pois nunca se anula.
Passo 7
Resolvendo 2(c): esboçar o gráfico de
com base nas informações anteriores.
- Comportamento global:
- Como termo dominante é
, quando tem e quando tem . - A função é estritamente crescente em toda a reta (resultado do Passo 6).
- Simetria:
-
é função ímpar, pois . Logo o gráfico é simétrico em relação à origem.
- Concavidade e ponto de inflexão:
- Segunda derivada:
. -
para (concavidade para baixo), para (concavidade para cima). - Em
temos e mudança de concavidade, portanto há um ponto de inflexão em .
- Alguns pontos para guiar o esboço:
-
. -
. -
.
- Descrição do esboço (como desenhar à mão):
- Uma curva que atravessa a origem, sobe para a direita passando por
, desce para a esquerda passando por . - É estritamente crescente, lentamente perto da origem, mas a inclinação aumenta com
. Concavidade muda no ponto . - A reta tangente em
tem equação (ver Passo 5), então perto da origem a curva segue essa inclinação e depois se afasta conforme a curvatura.
Resposta
1(a)
(válida para
; em
a derivada não existe).
1(b) , com domínio
,
.
1(c) , com
e assumindo
.
2(a) Equação da reta tangente: .
2(b) para todo
(logo
é estritamente crescente).
2(c) Gráfico: curva ímpar, estritamente crescente, com ponto de inflexão em ; passa por
,
,
e tem reta tangente
em
.
1(b)
1(c)
2(a) Equação da reta tangente:
2(b)
2(c) Gráfico: curva ímpar, estritamente crescente, com ponto de inflexão em