Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(1,1,-3),(1,2,-8)\} \mathrm{e} \\\ M=\operatorname{span}\{(-2,6,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos os subespaços de \mathbb{R}^{3}:
H=\operatorname{span}\{(1,1,-3),(1,2,-8)\}
e
M=\operatorname{span}\{(-2,6,1)\}.
O problema pede: encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=(-1,x_{2},x_{3}). Em particular, precisamos achar o valor de x_{3} entre as alternativas dadas.
Informações relevantes do enunciado:
\begin{aligned} &\text{1) } \vec{x}\in H \Rightarrow \vec{x}\text{ é combinação linear de }(1,1,-3)\text{ e }(1,2,-8).\\\ &\text{2) } \vec{x}\in M^{\perp} \Rightarrow \vec{x}\cdot(-2,6,1)=0.\\\ &\text{3) } \vec{x}\text{ tem primeira coordenada }-1, \text{ isto é }x_{1}=-1. \end{aligned}éçãé

Passo 2

Representar um vetor genérico de H como combinação linear. Se \vec{x}\in H, existem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a(1,1,-3)+b(1,2,-8).
Vou escrever coordenada a coordenada essa combinação, para ficar claro o que cada componente vale.

Passo 3

Calcular as coordenadas de \vec{x} em função de a e b. Somando coordenadas:
\vec{x}=(a+b,\;a+2b,\;-3a-8b).
Aqui: a primeira coordenada é a+b, a segunda é a+2b e a terceira é -3a-8b.

Passo 4

Usar a condição da primeira coordenada \,x_{1}=-1. Como \,x_{1}=a+b, obtemos a equação
a+b=-1.

Passo 5

Entender a condição \vec{x}\in M^{\perp}. Um vetor está em M^{\perp} quando é ortogonal a todo gerador de M. Como M é gerado por (-2,6,1), precisamos que
\vec{x}\cdot(-2,6,1)=0.
Agora substituo \vec{x}=(a+b,\;a+2b,\;-3a-8b) nessa condição.

Passo 6

Calcular o produto escalar e simplificar. Fazendo o produto escalar:
(-2,6,1)\cdot(a+b,\;a+2b,\;-3a-8b) = -2(a+b)+6(a+2b)+1(-3a-8b).
Agora simplifico termo a termo:
-2a-2b+6a+12b-3a-8b.
Agrupando coeficientes de a e b:
(-2+6-3)a + (-2+12-8)b = 1\cdot a + 2\cdot b.
Então a condição \vec{x}\cdot(-2,6,1)=0 vira a equação linear
a+2b=0.

Passo 7

Resolver o sistema linear para a\) e \(b\). Temos o sistema \[\begin{cases} a+b=-1,\\[4pt] a+2b=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda (ou resolvendo por substituição): da segunda vem a=-2b\]. Substituindo em \(a+b=-1:
-2b+b=-1 \Rightarrow -b=-1 \Rightarrow b=1.
Então a=-2b=-2.]

Passo 8

Calcular \vec{x} e, em particular, x_{3}. Com a=-2 e b=1 temos, pelas fórmulas do Passo 3:
\begin{aligned} x_{1}&=a+b=-2+1=-1\quad(\text{confere com a forma exigida}),\\[4pt] x_{2}&=a+2b=-2+2=0,\\[4pt] x_{3}&=-3a-8b=-3(-2)-8(1)=6-8=-2. \end{aligned}]

Passo 9

Verificação final rápida: o vetor encontrado é \vec{x}=(-1,0,-2). Verifico ortogonalidade:
(-1,0,-2)\cdot(-2,6,1)=(-1)(-2)+0\cdot6+(-2)\cdot1=2+0-2=0,
logo \vec{x}\in M^{\perp}. E \vec{x} foi obtido como combinação de (1,1,-3) e (1,2,-8) com a=-2,b=1, então \vec{x}\in H. Tudo consistente.

Resposta

(F) -2

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