Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Temos os subespaços de
:
e
O problema pede: encontrar o único vetor
que pertence a
e que tem a forma
. Em particular, precisamos achar o valor de
entre as alternativas dadas.
Informações relevantes do enunciado:
Passo 2
Representar um vetor genérico de
como combinação linear. Se
, existem escalares
tais que
Vou escrever coordenada a coordenada essa combinação, para ficar claro o que cada componente vale.
Passo 3
Calcular as coordenadas de
em função de
e
. Somando coordenadas:
Aqui: a primeira coordenada é
, a segunda é
e a terceira é
.
Passo 4
Usar a condição da primeira coordenada
. Como
, obtemos a equação
Passo 5
Entender a condição
. Um vetor está em
quando é ortogonal a todo gerador de
. Como
é gerado por
, precisamos que
Agora substituo
nessa condição.
Passo 6
Calcular o produto escalar e simplificar. Fazendo o produto escalar:
Agora simplifico termo a termo:
Agrupando coeficientes de
e
:
Então a condição
vira a equação linear
Passo 7
Resolver o sistema linear para
Subtraindo a primeira equação da segunda (ou resolvendo por substituição): da segunda vem
:
Então
.]
Passo 8
Calcular
e, em particular,
. Com
e
temos, pelas fórmulas do Passo 3:
Passo 9
Verificação final rápida: o vetor encontrado é
. Verifico ortogonalidade:
logo
. E
foi obtido como combinação de
e
com
, então
. Tudo consistente.
Resposta
(F)