Sendo \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\frac{1}{2}, 5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3). Calcular:
\vec{u} \cdot \vec{z}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,4,3), \vec{v}=(-1,1,-1), \vec{w}=\left(-2,-\tfrac{1}{2},5\right) e \vec{z}=(-1,2,-3) e pede para calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{z}.
Informações relevantes: as coordenadas de \vec{u} e de \vec{z} estão explícitas; o resultado do produto escalar será um número real (um escalar).

Passo 2

Definição e fórmula do produto escalar em \mathbb{R}^3: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) temos
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Explicação: multiplicamos componente a componente e somamos os três produtos. O resultado é um número (não um vetor). Isso é tudo que precisamos aplicar aqui.

Passo 3

Aplicando a fórmula às coordenadas de \vec{u}=(1,4,3) e \vec{z}=(-1,2,-3):
\vec{u}\cdot\vec{z}=1\cdot(-1)+4\cdot 2+3\cdot(-3).
Mostrei explicitamente cada produto componente a componente: 1\cdot(-1), 4\cdot 2 e 3\cdot(-3).

Passo 4

Calculemos cada termo e somemos passo a passo:
1\cdot(-1)=-1.
4\cdot 2=8.
3\cdot(-3)=-9.
Agora somamos: -1+8+(-9) = -1+8-9. Primeiro -1+8=7. Depois 7-9=-2.

Passo 5

Interpretando o resultado: o produto escalar é o número -2. Como bônus didático rápido, um produto escalar negativo indica que o ângulo entre \vec{u} e \vec{z} é obtuso (maior que 90^\circ), mas isso não era pedido — só uma observação para entender o sinal.

Resposta

-2

Exercícios relacionados