Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & 3 & -8 \\\\ -1 & 0 & 1 & -2 \\\\ 1 & 2 & 1 & -2 \\\\ -1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{2}, a 2^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A\vec{x}=\vec{b} cuja matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & 3 & -8 \\\\ -1 & 0 & 1 & -2 \\\\ 1 & 2 & 1 & -2 \\\\ -1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right].
As perguntas/objetivos claros são:
  1. Identificar a matriz A e o vetor \vec{b}.
  2. Encontrar a solução \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|_{2}.
  3. Informar o valor de x_{2}, a segunda entrada da solução, escolhendo a alternativa correta entre as fornecidas.
Informações relevantes dadas (retiradas diretamente da matriz aumentada):
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 3\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] -1 & -2 & 1 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}-8\\[4pt]-2\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Por que mínimos quadrados e como proceder (aula rápida):
  • Quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é overdetermined (mais equações que incógnitas, aqui 4\times3), pode não existir solução exata.
  • A solução de mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|_{2}^{2}.
  • Uma forma prática de obter essa solução é resolver as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b},
onde A^{T} é a transposta de A. Aqui A^{T}A é uma matriz 3\times3 e A^{T}\vec{b} é um vetor 3\times1. Vou aplicar exatamente isso.

Passo 3

Calcular A^{T}A. A entrada (i,j) de A^{T}A é \sum_{k=1}^{4} a_{k,i}a_{k,j}, somando sobre as 4 linhas. Usando as linhas da matriz A:
\begin{aligned} \text{linhas: } & r_{1}=(-1,0,3),\; r_{2}=(-1,0,1),\; r_{3}=(1,2,1),\; r_{4}=(-1,-2,1). \end{aligned}
Calculemos elemento a elemento:
\begin{aligned} (A^{T}A)_{11}&=\sum a_{k1}^{2}=(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}=4,\\[4pt] (A^{T}A)_{12}&=\sum a_{k1}a_{k2}=(-1)\cdot0+(-1)\cdot0+1\cdot2+(-1)\cdot(-2)=4,\\[4pt] (A^{T}A)_{13}&=\sum a_{k1}a_{k3}=(-1)\cdot3+(-1)\cdot1+1\cdot1+(-1)\cdot1=-4,\\[4pt] (A^{T}A)_{22}&=\sum a_{k2}^{2}=0^{2}+0^{2}+2^{2}+(-2)^{2}=8,\\[4pt] (A^{T}A)_{23}&=\sum a_{k2}a_{k3}=0\cdot3+0\cdot1+2\cdot1+(-2)\cdot1=0,\\[4pt] (A^{T}A)_{33}&=\sum a_{k3}^{2}=3^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=12. \end{aligned}
Como A^{T}A é simétrica, montamos:
A^{T}A=\begin{pmatrix} 4 & 4 & -4\\[4pt] 4 & 8 & 0\\[4pt] -4 & 0 & 12 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{T}\vec{b}. A entrada i é \sum_{k=1}^{4} a_{k,i}b_{k}:
\begin{aligned} (A^{T}\vec{b})_{1}&=\sum a_{k1}b_{k}=(-1)(-8)+(-1)(-2)+1(-2)+(-1)(0)=8+2-2+0=8,\\[4pt] (A^{T}\vec{b})_{2}&=\sum a_{k2}b_{k}=0(-8)+0(-2)+2(-2)+(-2)(0)=-4,\\[4pt] (A^{T}\vec{b})_{3}&=\sum a_{k3}b_{k}=3(-8)+1(-2)+1(-2)+1(0)=-24-2-2=-28. \end{aligned}
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}8\\[4pt]-4\\[4pt]-28\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrever e simplificar o sistema normal A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}:
\begin{pmatrix} 4 & 4 & -4\\[4pt] 4 & 8 & 0\\[4pt] -4 & 0 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\[4pt]-4\\[4pt]-28\end{pmatrix}.
Dividindo convenientemente as equações por 4 (para ficar mais simples) obtemos o sistema equivalente:
\begin{aligned} &x_{1}+x_{2}-x_{3}=2,\\[4pt] &x_{1}+2x_{2}=-1,\\[4pt] &-x_{1}+3x_{3}=-7. \end{aligned}]

Passo 6

Resolver o sistema de forma passo a passo (método substituição):
  • Da segunda equação temos
x_{1}=-1-2x_{2}.
  • Substituindo em primeira equação:
(-1-2x_{2})+x_{2}-x_{3}=2 \quad\Rightarrow\quad -1 -x_{2}-x_{3}=2.
Isolando:
x_{2}+x_{3}=-3 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=-3-x_{2}.
  • Substituindo x_{1}=-1-2x_{2} e x_{3}=-3-x_{2} na terceira equação -x_{1}+3x_{3}=-7:
-(-1-2x_{2})+3(-3-x_{2})=-7.
Calculemos passo a passo:
1+2x_{2}-9-3x_{2}=-7 \quad\Rightarrow\quad -x_{2}-8=-7.
Logo
-x_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=-1.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem mental:
  • Encontramos x_{2}=-1.
  • Com esse valor poderíamos obter x_{1} e x_{3} se precisássemos, mas a pergunta pede apenas x_{2}.
  • O resultado é consistente com o sistema simplificado que resolvemos.

Resposta

(D) -1

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