Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear
, representado abaixo por sua matriz aumentada:
Assinale o valor de
, a
entrada da solução
.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear
cuja matriz aumentada é
As perguntas/objetivos claros são:
- Identificar a matriz
e o vetor . - Encontrar a solução
que minimiza . - Informar o valor de
, a segunda entrada da solução, escolhendo a alternativa correta entre as fornecidas.
Informações relevantes dadas (retiradas diretamente da matriz aumentada):
Passo 2
Por que mínimos quadrados e como proceder (aula rápida):
- Quando o sistema
é overdetermined (mais equações que incógnitas, aqui ), pode não existir solução exata. - A solução de mínimos quadrados é o vetor
que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos . - Uma forma prática de obter essa solução é resolver as equações normais
onde
é a transposta de
. Aqui
é uma matriz
e
é um vetor
. Vou aplicar exatamente isso.
Passo 3
Calcular
. A entrada
de
é
, somando sobre as 4 linhas. Usando as linhas da matriz
:
Calculemos elemento a elemento:
Como
é simétrica, montamos:
Passo 4
Calcular
. A entrada
é
:
Logo
Passo 5
Escrever e simplificar o sistema normal
:
Dividindo convenientemente as equações por
(para ficar mais simples) obtemos o sistema equivalente:
Passo 6
Resolver o sistema de forma passo a passo (método substituição):
- Da segunda equação temos
- Substituindo em primeira equação:
Isolando:
- Substituindo
e na terceira equação :
Calculemos passo a passo:
Logo
Passo 7
Interpretação rápida e checagem mental:
- Encontramos
. - Com esse valor poderíamos obter
e se precisássemos, mas a pergunta pede apenas . - O resultado é consistente com o sistema simplificado que resolvemos.
Resposta
(D)