Q9: Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e A uma matriz 3 \times 3 tal que
A \vec{v}_{1}=3 \vec{v}_{1}, \quad A \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} \quad \text { e } \quad A \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4 \vec{v}_{3} .
Se M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], então:
(A) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -4\end{array}\right]
(B) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -4\end{array}\right] M
(C) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(D) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(E) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] M
(F) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -4\end{array}\right]
(G) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] M
(H) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -4\end{array}\right] M

Passo 1

O enunciado dá uma base \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3} e uma matriz A tal que
A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3},\qquad A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}.
Também é dada a matriz M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], isto é, M tem como colunas os vetores da base \beta.\n
A pergunta é: entre as alternativas (A)–(H), quais igualdades envolvendo A, M e algumas matrizes são verdadeiras?

Passo 2

Entender a relação entre A, M e a matriz de A na base \beta.\n
Definição prática: se M=[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}], então o produto A M é a matriz cujas colunas são A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}. Ou seja,
A M = \big[\,A\vec{v}_{1}\;\; A\vec{v}_{2}\;\; A\vec{v}_{3}\,\big].
Por outro lado, se representarmos cada A\vec{v}_{j} como combinação linear dos vetores da base \beta,
A\vec{v}_{j} = c_{1j}\vec{v}_{1}+c_{2j}\vec{v}_{2}+c_{3j}\vec{v}_{3},
então as colunas (c_{1j},c_{2j},c_{3j})^{T} formam a matriz de A relativa à base \beta, que chamaremos de [A]_{\beta}. Nesse caso vale a igualdade fundamental de mudança de base:
A M = M\,[A]_{\beta}.
Logo, para identificar a alternativa certa basta encontrar [A]_{\beta} a partir das expressões dadas e verificar qual alternativa apresenta A M = M\,[A]_{\beta}.

Passo 3

Calcular as coordenadas de A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3} na base \beta.\n
Usando diretamente os dados do enunciado:
A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}+0\vec{v}_{2}+0\vec{v}_{3},
portanto a coluna correspondente é
\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para A\vec{v}_{2}:
A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}=1\vec{v}_{1}+0\vec{v}_{2}+(-3)\vec{v}_{3},
portanto a coluna correspondente é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Para A\vec{v}_{3}:
A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}=1\vec{v}_{1}+0\vec{v}_{2}+(-4)\vec{v}_{3},
portanto a coluna correspondente é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montar a matriz [A]_{\beta} com as colunas obtidas e comparar com as alternativas.\n
As colunas (na ordem j=1,2,3) são \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -4\end{pmatrix}. Logo
[A]_{\beta}= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -4 \end{pmatrix}.
Pelo passo 2 devemos ter A M = M\,[A]_{\beta}. Portanto a alternativa correta é aquela que afirma exatamente essa igualdade com a matriz acima do lado direito. A alternativa (A) afirma
A M = M \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -4 \end{pmatrix},
que coincide com o que encontramos. Qualquer alternativa que proponha M A=\cdots está trocando a ordem (essa ordem não é a relação correta para a matriz de A na base \beta), e alternativas com matrizes diferentes não batem com [A]_{\beta} calculada.]

Passo 5

Resumo e confirmação final: a matriz de A relativa à base \beta é
[A]_{\beta}=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & -3 & -4\end{pmatrix},
e a relação correta envolvendo M é A M = M\,[A]_{\beta}, que é exatamente a alternativa (A).]

Resposta

(A)

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