Também é dada a matriz M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], isto é, M tem como colunas os vetores da base \beta.\n
A pergunta é: entre as alternativas (A)–(H), quais igualdades envolvendo A, M e algumas matrizes são verdadeiras?
Passo 2
Entender a relação entre A, M e a matriz de A na base \beta.\n
Definição prática: se M=[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}], então o produto A M é a matriz cujas colunas são A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3}. Ou seja,
A M = \big[\,A\vec{v}_{1}\;\; A\vec{v}_{2}\;\; A\vec{v}_{3}\,\big].
Por outro lado, se representarmos cada A\vec{v}_{j} como combinação linear dos vetores da base \beta,
então as colunas (c_{1j},c_{2j},c_{3j})^{T} formam a matriz de A relativa à base \beta, que chamaremos de [A]_{\beta}. Nesse caso vale a igualdade fundamental de mudança de base:
A M = M\,[A]_{\beta}.
Logo, para identificar a alternativa certa basta encontrar [A]_{\beta} a partir das expressões dadas e verificar qual alternativa apresenta A M = M\,[A]_{\beta}.
Passo 3
Calcular as coordenadas de A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3} na base \beta.\n
Usando diretamente os dados do enunciado:
Montar a matriz [A]_{\beta} com as colunas obtidas e comparar com as alternativas.\n
As colunas (na ordem j=1,2,3) são \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -4\end{pmatrix}. Logo
Pelo passo 2 devemos ter A M = M\,[A]_{\beta}. Portanto a alternativa correta é aquela que afirma exatamente essa igualdade com a matriz acima do lado direito. A alternativa (A) afirma
A M = M \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & -4 \end{pmatrix},
que coincide com o que encontramos. Qualquer alternativa que proponha M A=\cdots está trocando a ordem (essa ordem não é a relação correta para a matriz de A na base \beta), e alternativas com matrizes diferentes não batem com [A]_{\beta} calculada.]
Passo 5
Resumo e confirmação final: a matriz de A relativa à base \beta é