Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
e
Pede-se: encontrar o único vetor
que pertence a
e que tem a forma
. A pergunta final é: qual é o valor de
? São dadas as opções (A) a (H) com valores numéricos.
Passo 2
Entendendo a condição
. Por definição,
é o conjunto dos vetores que são ortogonais a todo vetor de
. Como
é gerado por um único vetor
, a condição
equivale a exigir que o produto interno (produto escalar) de
com
seja zero:
Lembrete rápido sobre produto escalar: para
e
,
Aplicando isso com
obtemos a equação:
ou seja
Passo 3
Entendendo a condição
. Pelo enunciado,
é o subespaço gerado pelos vetores
e
. Isso significa que qualquer vetor
pode ser escrito como combinação linear desses geradores. Vamos escrever
onde
e
são escalares reais a determinar.
Passo 4
Calcular as componentes de
em função de
e
. Fazendo a soma componente a componente:
Temos a condição adicional dada pelo enunciado de que a primeira componente deve ser
. Assim:
Também, das componentes temos
e
.
Passo 5
Agora usamos a equação de ortogonalidade obtida no Passo 2,
, substituindo
e
em termos de
e
:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
Logo obtemos a segunda equação linear:
Passo 6
Temos agora o sistema linear em
Vou resolver passo a passo. Multiplico a primeira equação por
para eliminar
subtraindo:
Subtraindo a primeira dessas da segunda:
Substituindo
em
:
Passo 7
Agora que encontramos
e
, calculamos
através da expressão
:
Podemos também calcular
, então o vetor é
. Verificação rápida: produto escalar com
é
, confirma que está em
. E
é combinação linear de geradores de
pelos
encontrados, então
.
Resposta
(G)