Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ -4 \\\\ 8 \\\\ 3 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 6 \\\\ 4 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -2 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ -4 \\\\ 4 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(16,-8,9,10,-10).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado fornece: uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 composta por cinco vetores (vou chamá-los de \vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4,\vec{b}_5), onde o quinto vetor é
\vec{b}_5=\begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]2\\[4pt]-4\\[4pt]4\end{bmatrix},
e o vetor
\vec{v}=\begin{pmatrix}16\\[4pt]-8\\[4pt]9\\[4pt]10\\[4pt]-10\end{pmatrix}.
Pede-se: calcular a quinta coordenada x_5 do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} (ou seja, a entrada correspondente ao vetor \vec{b}_5).
Informações relevantes dadas:
\beta é ortogonal (os vetores da base são mutuamente ortogonais).
Não é necessário resolver sistema linear (dica).]

Passo 2

Qual a ideia que vamos usar (explicação didática): quando se tem uma base ortogonal \{\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_n\} e um vetor \vec{v}, podemos escrever
\vec{v}=x_1\vec{b}_1+\cdots+x_n\vec{b}_n.
Se tomarmos o produto interno (produto escalar) dessa igualdade com \vec{b}_j e usarmos a ortogonalidade (isto é, \vec{b}_i\cdot\vec{b}_j=0 sempre que i\neq j), todas as parcelas com i\neq j desaparecem, restando apenas a parcela com i=j. Isso leva à fórmula
x_j=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_j}{\vec{b}_j\cdot\vec{b}_j}.
Vou mostrar a dedução curta para fixar a ideia: partindo de \vec{v}=\sum_{i} x_i\vec{b}_i, fazemos o produto escalar com \vec{b}_j:
\vec{v}\cdot\vec{b}_j=\sum_{i} x_i(\vec{b}_i\cdot\vec{b}_j)=x_j(\vec{b}_j\cdot\vec{b}_j),
pois \vec{b}_i\cdot\vec{b}_j=0 para i\neq j. Daí isolamos x_j.
Então, para obter x_5 basta calcular \vec{v}\cdot\vec{b}_5 e \vec{b}_5\cdot\vec{b}_5 e dividir.

Passo 3

Lembrete rápido sobre produto escalar (didática): para dois vetores em \mathbb{R}^5,
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5),\qquad \vec{w}=(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5),
o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{w}=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3+u_4w_4+u_5w_5.
Vou usar isso para calcular \vec{v}\cdot\vec{b}_5. Substituindo componente a componente,
\vec{v}\cdot\vec{b}_5 =16\cdot 1+(-8)\cdot(-1)+9\cdot 2+10\cdot(-4)+(-10)\cdot 4.
Calculemos termo a termo:
16\cdot 1=16,\quad (-8)\cdot(-1)=8,\quad 9\cdot 2=18,\quad 10\cdot(-4)=-40,\quad (-10)\cdot 4=-40.
Somando:
16+8+18-40-40=42-80=-38.
Portanto
\vec{v}\cdot\vec{b}_5=-38.

Passo 4

Agora calculamos \vec{b}_5\cdot\vec{b}_5, que é o quadrado da norma de \vec{b}_5. Pelo mesmo procedimento:
\vec{b}_5\cdot\vec{b}_5 =1^2+(-1)^2+2^2+(-4)^2+4^2.
Calculemos:
1^2=1,\quad (-1)^2=1,\quad 2^2=4,\quad (-4)^2=16,\quad 4^2=16.
Somando:
1+1+4+16+16=38.
Logo
\vec{b}_5\cdot\vec{b}_5=38.

Passo 5

Aplicando a fórmula da Passo 2 para j=5:
x_5=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_5}{\vec{b}_5\cdot\vec{b}_5}=\frac{-38}{38}=-1.
Interpretação rápida: isso significa que, na combinação linear de \vec{v} em relação à base ortogonal \beta, o coeficiente associado ao quinto vetor \vec{b}_5 é -1.

Passo 6

Pequeno exemplo extra (para fixar): se em \mathbb{R}^2 tivermos \vec{e}_1=(2,0) e \vec{e}_2=(0,3) (ortogonais), para \vec{w}=(4,9) temos
\vec{w}\cdot\vec{e}_1=4\cdot 2+9\cdot 0=8,\quad \vec{e}_1\cdot\vec{e}_1=4\Rightarrow x_1=\frac{8}{4}=2,
\vec{w}\cdot\vec{e}_2=4\cdot 0+9\cdot 3=27,\quad \vec{e}_2\cdot\vec{e}_2=9\Rightarrow x_2=\frac{27}{9}=3.
Então \vec{w}=2\vec{e}_1+3\vec{e}_2. Isso mostra a mesma ideia que usamos no problema: coordenadas vêm de projecções pelo produto escalar dividido pela norma ao quadrado do vetor da base.

Resposta

(D) -1

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