e o vetor \vec{v}=(16,-8,9,10,-10).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado fornece: uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 composta por cinco vetores (vou chamá-los de \vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4,\vec{b}_5), onde o quinto vetor é
Pede-se: calcular a quinta coordenada x_5 do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} (ou seja, a entrada correspondente ao vetor \vec{b}_5).
Informações relevantes dadas: \beta é ortogonal (os vetores da base são mutuamente ortogonais).
Não é necessário resolver sistema linear (dica).]
Passo 2
Qual a ideia que vamos usar (explicação didática): quando se tem uma base ortogonal \{\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_n\} e um vetor \vec{v}, podemos escrever
\vec{v}=x_1\vec{b}_1+\cdots+x_n\vec{b}_n.
Se tomarmos o produto interno (produto escalar) dessa igualdade com \vec{b}_j e usarmos a ortogonalidade (isto é, \vec{b}_i\cdot\vec{b}_j=0 sempre que i\neq j), todas as parcelas com i\neq j desaparecem, restando apenas a parcela com i=j. Isso leva à fórmula
Interpretação rápida: isso significa que, na combinação linear de \vec{v} em relação à base ortogonal \beta, o coeficiente associado ao quinto vetor \vec{b}_5 é -1.
Passo 6
Pequeno exemplo extra (para fixar): se em \mathbb{R}^2 tivermos \vec{e}_1=(2,0) e \vec{e}_2=(0,3) (ortogonais), para \vec{w}=(4,9) temos
Então \vec{w}=2\vec{e}_1+3\vec{e}_2. Isso mostra a mesma ideia que usamos no problema: coordenadas vêm de projecções pelo produto escalar dividido pela norma ao quadrado do vetor da base.