Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 2 & 6 & -18 \\\\ -1 & 2 & -2 & 0 \\\\ -1 & 0 & -1 & -1 \\\\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{2}, a 2^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A\vec{x}=\vec{b} representado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 2 & 6 & -18 \\\\ -1 & 2 & -2 & 0 \\\\ -1 & 0 & -1 & -1 \\\\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]
Listando o que temos e o que pedem:
\text{Matriz }A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 6\\[4pt] -1 & 2 & -2\\[4pt] -1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}-18\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
A pergunta: encontrar a solução no sentido dos mínimos quadrados e, em particular, indicar o valor da segunda componente \,x_2, da solução \vec{x}. Não vamos supor que o sistema seja consistente; queremos a solução que minimiza o erro quadrático \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2.]

Passo 2

Ideia dos mínimos quadrados (explicação didática): queremos o vetor \vec{x}\in\mathbb{R}^3 que torna o resíduo \vec{r}=A\vec{x}-\vec{b} o menor possível em norma Euclidiana. Isso é equivalente a minimizar a função escalar
f(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^2=(A\vec{x}-\vec{b})^\top(A\vec{x}-\vec{b}).
Para encontrar o mínimo, derivamos f em relação a \vec{x} (gradiente) e igualamos a zero. O resultado padrão é a equação normal:
A^\top A\,\vec{x}=A^\top\vec{b}.
Aqui A^\top é a transposta de A. Essa equação é um sistema 3\times3 (porque A tem 3 colunas) que podemos resolver por eliminação. Essa \vec{x} resolve o problema dos mínimos quadrados (assumindo A^\top A invertível ou solucionável).

Passo 3

Vamos calcular A^\top A. Primeiro escrevo as colunas de A:
\text{col}_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad \text{col}_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad \text{col}_3=\begin{pmatrix}6\\[4pt]-2\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Os elementos de A^\top A são produtos internos entre essas colunas. Calculo cada entrada:
\begin{aligned} (A^\top A)_{11}&=\text{col}_1^\top\text{col}_1=1+1+1+1=4,\\[4pt] (A^\top A)_{12}&=\text{col}_1^\top\text{col}_2=(-1)\cdot 2+(-1)\cdot 2+(-1)\cdot 0+(-1)\cdot 0=-4,\\[4pt] (A^\top A)_{13}&=\text{col}_1^\top\text{col}_3=(-1)\cdot 6+(-1)\cdot(-2)+(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot 1=-4,\\[4pt] (A^\top A)_{22}&=\text{col}_2^\top\text{col}_2=2^2+2^2+0+0=8,\\[4pt] (A^\top A)_{23}&=\text{col}_2^\top\text{col}_3=2\cdot 6+2\cdot(-2)+0+0=8,\\[4pt] (A^\top A)_{33}&=\text{col}_3^\top\text{col}_3=6^2+(-2)^2+(-1)^2+1^2=36+4+1+1=42. \end{aligned}
Como A^\top A é simétrica, preencho a matriz inteira:
A^\top A=\begin{pmatrix} 4 & -4 & -4\\[4pt] -4 & 8 & 8\\[4pt] -4 & 8 & 42 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculo A^\top\vec{b}. Uso as mesmas colunas e o vetor \vec{b}=\begin{pmatrix}-18\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}. Cada componente é o produto interno da coluna correspondente com \vec{b}:
\begin{aligned} (A^\top\vec{b})_1&=\text{col}_1^\top\vec{b}=(-1)(-18)+(-1)(0)+(-1)(-1)+(-1)(3)=18+0+1-3=16,\\[4pt] (A^\top\vec{b})_2&=\text{col}_2^\top\vec{b}=2(-18)+2(0)+0(-1)+0(3)=-36,\\[4pt] (A^\top\vec{b})_3&=\text{col}_3^\top\vec{b}=6(-18)+(-2)(0)+(-1)(-1)+1(3)=-108+0+1+3=-104. \end{aligned}
Portanto
A^\top\vec{b}=\begin{pmatrix}16\\[4pt]-36\\[4pt]-104\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrevo as equações normais completas:
\begin{pmatrix} 4 & -4 & -4\\[4pt] -4 & 8 & 8\\[4pt] -4 & 8 & 42 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16\\[4pt]-36\\[4pt]-104\end{pmatrix}.
Vou resolver esse sistema 3\times3 por eliminação gaussiana. Primeiro, simplifico a primeira linha dividindo por 4 (isso facilita as contas sem mudar a solução):
\text{R}_1\leftarrow\frac{1}{4}\text{R}_1\quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 &\vline& 4\\[4pt] -4 & 8 & 8 &\vline& -36\\[4pt] -4 & 8 & 42 &\vline& -104 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Eliminação nas linhas 2 e 3 usando a nova linha 1:
\begin{aligned} \text{R}_2&\leftarrow\text{R}_2+4\cdot\text{R}_1 \quad\Rightarrow\quad [0\;\;4\;\;4\;|\;-20],\\[4pt] \text{R}_3&\leftarrow\text{R}_3+4\cdot\text{R}_1 \quad\Rightarrow\quad [0\;\;4\;\;38\;|\;-88]. \end{aligned}
A matriz aumentada fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 &\vline& 4\\[4pt] 0 & 4 & 4 &\vline& -20\\[4pt] 0 & 4 & 38 &\vline& -88 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Elimino a entrada (3,2) subtraindo a linha 2 da linha 3:
\text{R}_3\leftarrow\text{R}_3-\text{R}_2 \quad\Rightarrow\quad [0\;\;0\;\;34\;|\;-68].
Agora a terceira equação é simples:
34\,x_3=-68 \quad\Rightarrow\quad x_3=\frac{-68}{34}=-2.

Passo 8

Volto à segunda equação para achar x_2. A segunda linha é \,4x_2+4x_3=-20. Substituo x_3=-2:
4x_2+4(-2)=-20 \quad\Rightarrow\quad 4x_2-8=-20 \quad\Rightarrow\quad 4x_2=-12,
logo
x_2=\frac{-12}{4}=-3.

Passo 9

Para completar (e checar), encontro x_1 usando a primeira equação reduzida x_1-x_2-x_3=4. Substituo x_2=-3 e x_3=-2:
x_1-(-3)-(-2)=4 \quad\Rightarrow\quad x_1+3+2=4 \quad\Rightarrow\quad x_1=4-5=-1.
Portanto a solução dos mínimos quadrados é
\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-3\\[4pt]-2\end{pmatrix},
e a segunda componente é x_2=-3.]

Resposta

(B) -3

Exercícios relacionados