Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
II - O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=4 x-4 y\right\} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas e pede que eu identifique quais são verdadeiras:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
II - O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.
III - \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=4x-4y\} é subespaço vetorial.
As opções são as alternativas de (A) até (H); preciso dizer quais das afirmativas I, II, III são verdadeiras.

Passo 2

Vamos revisar o que significa ser um subespaço vetorial (a regra prática que você deve usar na prova). Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: \overrightarrow{0}\in W.
  2. É fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\,u\in W.
Explicando um pouco: a propriedade (1) evita conjuntos vazios; (2) e (3) garantem que você pode somar e escalar vetores dentro do conjunto sem sair dele. Na prática de prova, mostrar (1) e provar (2) e (3) por cálculo costuma ser rápido e seguro.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.”
Primeiro observe que o conjunto solução é exatamente o núcleo (kernel) da transformação linear dada por T(\vec{x})=A\vec{x}. Vamos provar diretamente que esse conjunto é subespaço, usando as três propriedades:
  • Zero: A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, portanto \overrightarrow{0} satisfaz a equação e pertence ao conjunto solução.
  • Fechamento por soma: sejam \vec{u} e \vec{v} soluções, ou seja A\vec{u}=\overrightarrow{0} e A\vec{v}=\overrightarrow{0}. Então
A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},
logo \vec{u}+\vec{v} também é solução.
  • Fechamento por escalar: seja c\in\mathbb{R} e \vec{u} solução. Então
A(c\vec{u})=c(A\vec{u})=c\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},
logo c\vec{u} também é solução.
Como as três propriedades são satisfeitas, o conjunto solução de A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
(Comentário amigo: isto é padrão — núcleo de qualquer transformação linear é sempre subespaço. Decore isso que salva tempo na prova.)

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.”
Primeiro, lembre: uma rotação em \mathbb{R}^3 é uma transformação linear representada por uma matriz ortogonal com determinante 1 (uma rotação rígida). Duas observações importantes e fáceis de entender:
  • Toda rotação (não degenerada) é invertível: a rotação inversa é a rotação pelo mesmo eixo com ângulo negativo. Logo a matriz da rotação tem inversa.
  • O núcleo (kernel) de uma aplicação linear invertível contém apenas o vetor zero: se T é invertível e T(v)=\overrightarrow{0}, então aplicando T^{-1} obtemos v=\overrightarrow{0}. Assim \ker T=\{\overrightarrow{0}\}.
O conjunto \{\overrightarrow{0}\} é um subespaço vetorial (satisfaz as três propriedades triviais). Além disso, de modo geral o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço (mesma razão do Passo 3). Portanto a frase “o núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial” é falsa. Conclusão: a afirmativa II é falsa.
(Exemplo concreto: uma rotação em torno do eixo z não manda nenhum vetor não-nulo para o vetor zero — só o zero vai para zero.)

Passo 5

Analisando a afirmativa III: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=4x-4y\} é subespaço vetorial.
Vou provar por fechamento e presença do zero:
  • Zero: o vetor (0,0,0) satisfaz 0 = 4\cdot0 - 4\cdot0, logo está no conjunto.
  • Fechamento por soma: sejam \vec{u}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e \vec{v}=(x_{2},y_{2},z_{2}) no conjunto, então z_{1}=4x_{1}-4y_{1} e z_{2}=4x_{2}-4y_{2}. Para a soma,
\vec{u}+\vec{v}=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}),
e
z_{1}+z_{2}=(4x_{1}-4y_{1})+(4x_{2}-4y_{2})=4(x_{1}+x_{2})-4(y_{1}+y_{2}).
Portanto \vec{u}+\vec{v} também satisfaz a condição e pertence ao conjunto.
  • Fechamento por escalar: seja c\in\mathbb{R} e \vec{u}=(x,y,z) com z=4x-4y. Então
c\vec{u}=(cx,\,cy,\,cz)
e
cz=c(4x-4y)=4(cx)-4(cy),
logo c\vec{u} também satisfaz a equação e pertence ao conjunto.
As três propriedades valem, logo o conjunto é um subespaço vetorial. Alternativa rápida (útil na prova): este conjunto é o núcleo da forma linear f(x,y,z)=z-4x+4y, isto é, f^{-1}(0); núcleos de formas lineares são subespaços de dimensão 2 (planos que passam pela origem). Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das verdades:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
Portanto as afirmativas verdadeiras são I e III.

Resposta

(F) Só I e III são verdadeiras.

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