Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
II - O núcleo de uma rotação em
não é subespaço vetorial III -
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
II - O núcleo de uma rotação em
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas e pede que eu identifique quais são verdadeiras:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O núcleo de uma rotação em não é subespaço vetorial.
III - é subespaço vetorial.
As opções são as alternativas de (A) até (H); preciso dizer quais das afirmativas I, II, III são verdadeiras.
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
II - O núcleo de uma rotação em
III -
As opções são as alternativas de (A) até (H); preciso dizer quais das afirmativas I, II, III são verdadeiras.
Passo 2
Vamos revisar o que significa ser um subespaço vetorial (a regra prática que você deve usar na prova). Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades:
- Contém o vetor zero:
. - É fechado sob soma: se
e então . - É fechado sob multiplicação por escalar: se
e então .
Explicando um pouco: a propriedade (1) evita conjuntos vazios; (2) e (3) garantem que você pode somar e escalar vetores dentro do conjunto sem sair dele. Na prática de prova, mostrar (1) e provar (2) e (3) por cálculo costuma ser rápido e seguro.
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.”
Primeiro observe que o conjunto solução é exatamente o núcleo (kernel) da transformação linear dada por
. Vamos provar diretamente que esse conjunto é subespaço, usando as três propriedades:
- Zero:
, portanto satisfaz a equação e pertence ao conjunto solução. - Fechamento por soma: sejam
e soluções, ou seja e . Então
logo
também é solução.
- Fechamento por escalar: seja
e solução. Então
logo
também é solução.
Como as três propriedades são satisfeitas, o conjunto solução de
é um subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
(Comentário amigo: isto é padrão — núcleo de qualquer transformação linear é sempre subespaço. Decore isso que salva tempo na prova.)
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “O núcleo de uma rotação em
não é subespaço vetorial.”
Primeiro, lembre: uma rotação em
é uma transformação linear representada por uma matriz ortogonal com determinante
(uma rotação rígida). Duas observações importantes e fáceis de entender:
- Toda rotação (não degenerada) é invertível: a rotação inversa é a rotação pelo mesmo eixo com ângulo negativo. Logo a matriz da rotação tem inversa.
- O núcleo (kernel) de uma aplicação linear invertível contém apenas o vetor zero: se
é invertível e , então aplicando obtemos . Assim .
O conjunto
é um subespaço vetorial (satisfaz as três propriedades triviais). Além disso, de modo geral o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço (mesma razão do Passo 3). Portanto a frase “o núcleo de uma rotação em
não é subespaço vetorial” é falsa. Conclusão: a afirmativa II é falsa.
(Exemplo concreto: uma rotação em torno do eixo
não manda nenhum vetor não-nulo para o vetor zero — só o zero vai para zero.)
Passo 5
Analisando a afirmativa III:
é subespaço vetorial.
Vou provar por fechamento e presença do zero:
- Zero: o vetor
satisfaz , logo está no conjunto. - Fechamento por soma: sejam
e no conjunto, então e . Para a soma,
e
Portanto
também satisfaz a condição e pertence ao conjunto.
- Fechamento por escalar: seja
e com . Então
e
logo
também satisfaz a equação e pertence ao conjunto.
As três propriedades valem, logo o conjunto é um subespaço vetorial. Alternativa rápida (útil na prova): este conjunto é o núcleo da forma linear
, isto é,
; núcleos de formas lineares são subespaços de dimensão 2 (planos que passam pela origem). Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das verdades:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Portanto as afirmativas verdadeiras são I e III.
Resposta
(F) Só I e III são verdadeiras.