Q19 *
Assinale o valor do limite
(a)
(b) 0
(c) 1
(d)
(b) 0
(c) 1
(d)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
.
A pergunta é: qual é o limite quandotende a ?
Passo 2
Identificar a forma indeterminada e a ferramenta que vamos usar.
Ao observar os comportamentos quando
:
-
. -
.
Logo a expressão tem a forma indeterminada
. Nesses casos uma ferramenta clássica é a Regra de L’Hôpital, que diz o seguinte (em palavras simples):
- Se
(ou ambos ), e se e são diferenciáveis perto de com próximo de , então
sempre que o limite do lado direito exista (ou seja
).
Aqui podemos aplicar L’Hôpital porque numerador e denominador são diferenciáveis e formam .
Aqui podemos aplicar L’Hôpital porque numerador e denominador são diferenciáveis e formam
Também é útil lembrar as derivadas que vamos usar:
-
. -
.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital uma vez obtemos
Ainda é da forma
, então podemos aplicar L’Hôpital de novo. Em vez de repetir passo a passo 10 vezes, observe um padrão: se derivarmos
vezes o numerador e o denominador, para
, obtemos (pode-se provar por indução)
- numerador após
derivadas: , - denominador após
derivadas: .
Esse padrão é consequência de que cada derivada de
traz um fator
e reduz o expoente em
, e cada derivada de
multiplica por
sem mudar a forma exponencial.
Passo 4
Agora escolha
. Aplicando L’Hôpital
vezes obtemos
- numerador transformado em
(pois ), - denominador transformado em
.
Portanto o limite passa a ser
Sabemos que
, porque a exponencial decresce para zero quando o expoente vai a
. Assim o produto é
Passo 5
Intuição final e incentivo: o resultado mostra uma ideia importante que vale decorar para prova — exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios. Portanto qualquer razão do tipo
com
tende a
quando
. Você conseguiu chegar lá, respira e confia!
Resposta
(b) 0