Q19 *

Assinale o valor do limite
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{10}}{e^{\frac{x}{10}}}
(a) \infty
(b) 0
(c) 1
(d) \nexists

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{10}}{e^{\frac{x}{10}}}.
Informações dadas:
  • O numerador é \,x^{10}\,.
  • O denominador é \,e^{\frac{x}{10}}\,.
    A pergunta é: qual é o limite quando x tende a +\infty?

Passo 2

Identificar a forma indeterminada e a ferramenta que vamos usar.
Ao observar os comportamentos quando x\to\infty:
  • \,x^{10}\to\infty.
  • \,e^{\frac{x}{10}}\to\infty.
Logo a expressão tem a forma indeterminada \infty/\infty. Nesses casos uma ferramenta clássica é a Regra de L’Hôpital, que diz o seguinte (em palavras simples):
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\infty (ou ambos 0), e se f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
sempre que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty).
Aqui podemos aplicar L’Hôpital porque numerador e denominador são diferenciáveis e formam \infty/\infty.
Também é útil lembrar as derivadas que vamos usar:
  • \dfrac{d}{dx}x^{10}=10x^9.
  • \dfrac{d}{dx}e^{\frac{x}{10}}=\dfrac{1}{10}e^{\frac{x}{10}}.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital uma vez obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{10}}{e^{\frac{x}{10}}} =\lim_{x\to\infty}\frac{10x^{9}}{\frac{1}{10}e^{\frac{x}{10}}}.
Ainda é da forma \infty/\infty, então podemos aplicar L’Hôpital de novo. Em vez de repetir passo a passo 10 vezes, observe um padrão: se derivarmos k vezes o numerador e o denominador, para k\le 10, obtemos (pode-se provar por indução)
  • numerador após k derivadas: \dfrac{10!}{(10-k)!}\,x^{10-k},
  • denominador após k derivadas: \left(\dfrac{1}{10}\right)^{k} e^{\frac{x}{10}}.
Esse padrão é consequência de que cada derivada de x^{m} traz um fator m e reduz o expoente em 1, e cada derivada de e^{\frac{x}{10}} multiplica por \tfrac{1}{10} sem mudar a forma exponencial.

Passo 4

Agora escolha k=10. Aplicando L’Hôpital 10 vezes obtemos
  • numerador transformado em 10! (pois \dfrac{10!}{(10-10)!} = 10!),
  • denominador transformado em \left(\dfrac{1}{10}\right)^{10} e^{\frac{x}{10}}.
Portanto o limite passa a ser
\lim_{x\to\infty}\frac{10!}{\left(\dfrac{1}{10}\right)^{10} e^{\frac{x}{10}}} =10!\cdot 10^{10}\cdot\lim_{x\to\infty} e^{-\frac{x}{10}}.
Sabemos que \lim_{x\to\infty} e^{-\frac{x}{10}}=0, porque a exponencial decresce para zero quando o expoente vai a -\infty. Assim o produto é
10!\cdot 10^{10}\cdot 0 = 0.

Passo 5

Intuição final e incentivo: o resultado mostra uma ideia importante que vale decorar para prova — exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios. Portanto qualquer razão do tipo \dfrac{\text{polinômio em }x}{e^{c x}}ô com c>0 tende a 0 quando x\to\infty. Você conseguiu chegar lá, respira e confia!

Resposta

(b) 0

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