Q2 (35pts) Sejam e subespaços vetoriais de . Sabe-se que é uma base de , com e . Além disso, .
a) ?
b) Complete a base até obter uma base de .
Passo 1
O enunciado fala de dois subespaços de :
, com
.
a) Queremos saber se
isto é, se e .
b) Completar a base (que gera ) até uma base de .
Passo 2
Dimensão de cada subespaço:
, pois é base.
é dado por dois parâmetros , logo .
Se fosse , teríamos obrigatoriamente
e .
Passo 3
Vamos achar
Igualando coordenadas, obtemos o sistema
Das duas primeiras equações vem . Da terceira , logo , , .
A quarta impõe
e a quinta é satisfeita automaticamente. Concluímos que para todo há um vetor não nulo em . Assim
Passo 4
Como dim(Ucap W)=1>0, a soma não é direta. Em particular dim(U+W)=3+2-1=4<5, então U+WneqR^5.
Resposta da letra (a): Não.
Passo 5
Para completar v1,v2,v3 a uma base de R^5, basta escolher dois vetores que não pertençam a U e sejam entre si independentes. Por exemplo, tomemos os vetores da base canônica
e1=(1,0,0,0,0), e3=(0,0,1,0,0)
Não é difícil verificar que nenhum destes dois está em U, e que e1,e3 é independente. Logo