Q2 (35pts) Sejam U e W subespaços vetoriais de R^5. Sabe-se que B=v1, v2, v3 é uma base de U, com v1=(1,1,-1,1,2), v2=(1,2,1,2,1) e v3=(1,1,0,1,-1). Além disso, W=(x, 2 x, 0,2 x+y, 4 x) ; x, y in R.
a) R^5=U oplus W ?
b) Complete a base B até obter uma base de R^5.

Passo 1

O enunciado fala de dois subespaços de :
  1. , com
  1. .
a) Queremos saber se
isto é, se e .
b) Completar a base (que gera ) até uma base de .

Passo 2

Dimensão de cada subespaço:
  • dim U=3, pois v1,v2,v3 é base.
  • W é dado por dois parâmetros (x,y), logo dim W=2.
Se fosse R^5=Uoplus W, teríamos obrigatoriamente
dim(U+W)=dim U+dim W=3+2=5
e dim(Ucap W)=0.

Passo 3

Vamos achar
Igualando coordenadas, obtemos o sistema
Das duas primeiras equações vem . Da terceira , logo , , .
A quarta impõe
e a quinta é satisfeita automaticamente. Concluímos que para todo há um vetor não nulo em . Assim

Passo 4

Como dim(Ucap W)=1>0, a soma não é direta. Em particular dim(U+W)=3+2-1=4<5, então U+WneqR^5.
Resposta da letra (a): Não.

Passo 5

Para completar v1,v2,v3 a uma base de R^5, basta escolher dois vetores que não pertençam a U e sejam entre si independentes. Por exemplo, tomemos os vetores da base canônica
e1=(1,0,0,0,0), e3=(0,0,1,0,0)
Não é difícil verificar que nenhum destes dois está em U, e que e1,e3 é independente. Logo
v1,v2,v3,;e1,;e3
é base de R^5.

Resposta

a) Não.
b) Uma ampliação possível é
,v1,v2,v3,;(1,0,0,0,0),;(0,0,1,0,0)

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