Q2. Forma integral e Poisson. Comece da Lei de Gauss em meios contínuos
\oint_{S} \mathbf{g} \cdot \mathrm{~d} \mathbf{A}=-4 \pi G \int_{V} \rho \mathrm{~d} V
Usando o Teorema do Divergente e \mathbf{g}=-\boldsymbol{\nabla} \varphi, deduza passo a passo a equação de Poisson:
\nabla^{2} \varphi=4 \pi G \rho

Passo 1

O enunciado nos dá a forma integral da Lei de Gauss para o campo gravitacional e pede para deduzir a forma diferencial (equação de Poisson). Dados e perguntas explicitados:
  • Equação integral fornecida:
\oint_{S} \mathbf{g}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = -4\pi G \int_{V} \rho\,\mathrm{d}V.
  • Relação entre campo gravitacional e potencial:
\mathbf{g} = -\nabla \varphi.
  • O que se pede: deduzir passo a passo a equação de Poisson
\nabla^{2}\varphi = 4\pi G \rho.
  • Significado dos símbolos (para não haver confusão):
    • \mathbf{g} é o campo gravitacional vetorial (unidade de aceleração).
    • \varphi é o potencial gravitacional escalar.
    • \rho é a densidade de massa (função de posição).
    • G é a constante gravitacional.
    • V é um volume arbitrário no espaço e S=\partial V é a superfície que o limita.
  • Informação adicional que será usada: Teorema do Divergente (que liga integrals de superfície a integrals de volume).

Passo 2

Lembrete do Teorema do Divergente (Teorema de Gauss para campos vetoriais): para um campo vetorial suficientemente suave \mathbf{F},
\oint_{S} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \int_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V.
Aplicando isso ao campo \mathbf{F}=\mathbf{g} (o campo gravitacional) transforma a integral de superfície do enunciado em uma integral de volume:
\oint_{S} \mathbf{g}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \int_{V} \nabla\cdot\mathbf{g}\,\mathrm{d}V.
Comparando com a equação integral dada no enunciado, obtemos
\int_{V} \nabla\cdot\mathbf{g}\,\mathrm{d}V = -4\pi G \int_{V} \rho\,\mathrm{d}V.

Passo 3

Reorganizando as duas integrais sobre o mesmo volume V e juntando em uma única integral:
\int_{V} \bigl(\nabla\cdot\mathbf{g} + 4\pi G \rho\bigr)\,\mathrm{d}V = 0.
Agora um argumento padrão de análise: se uma função contínua f(\mathbf{x}) tem a propriedade de que
\int_{V} f(\mathbf{x})\,\mathrm{d}V = 0
para todo volume arbitrário V, então necessariamente f(\mathbf{x})=0 ponto a ponto (ou ao menos quase em toda parte; sob hipóteses usuais de suavidade dá-se igualdade em todo ponto). Aplicando isso ao integrando obtemos a forma diferencial local:
\label{eq:divg} \nabla\cdot\mathbf{g} + 4\pi G \rho = 0,
ou seja
\nabla\cdot\mathbf{g} = -4\pi G \rho.
(Observação didática: a razão pela qual podemos trocar integral por igualdade local é que o volume V foi tomado arbitrário — isto “localiza” a lei.)

Passo 4

Substituímos agora a relação entre campo e potencial que nos foi dada:
\mathbf{g} = -\nabla\varphi.
Calculamos a divergência de \mathbf{g}:
\nabla\cdot\mathbf{g} = \nabla\cdot\bigl(-\nabla\varphi\bigr) = -\nabla\cdot\nabla\varphi.
A operação \nabla\cdot\nabla\varphi é o Laplaciano do escalar \varphi, que se denota por \nabla^{2}\varphi. Em coordenadas cartesianas:
\nabla^{2}\varphi = \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial z^{2}}.
Portanto
\nabla\cdot\mathbf{g} = -\nabla^{2}\varphi.

Passo 5

Substituindo \nabla\cdot\mathbf{g} = -\nabla^{2}\varphi na igualdade local obtida no Passo 3, temos
-\nabla^{2}\varphi = -4\pi G \rho.
Multiplicando por -1 obtemos finalmente a equação de Poisson:
\nabla^{2}\varphi = 4\pi G \rho.

Passo 6

Comentário didático e intuição curta:
  • A equação de Poisson relaciona, ponto a ponto, a curvatura local do potencial (via \nabla^{2}\varphi) com a densidade de massa \rho.
  • Em regiões sem massa ( \rho=0) a equação reduz-se à equação de Laplace \nabla^{2}\varphi=0.
  • Para uma massa pontual M em origem com \rho(\mathbf{x})=M\delta(\mathbf{x}) obtém-se \nabla^{2}\varphi = 4\pi G M\delta(\mathbf{x}), que leva à solução conhecida \varphi(\mathbf{x})=-GM/|\mathbf{x}| fora da origem.
  • Observação sobre hipóteses: a passagem da forma integral para a forma diferencial assume regularidade (suavidade / continuidade apropriada) dos campos; para distribuições singulares (delta de Dirac) usa-se teoria das distribuições, mas o resultado formal continua válido.

Resposta

\nabla^{2}\varphi = 4\pi G \rho

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