Q2. Forma integral e Poisson. Comece da Lei de Gauss em meios contínuos
Usando o Teorema do Divergente e
, deduza passo a passo a equação de Poisson:
Passo 1
O enunciado nos dá a forma integral da Lei de Gauss para o campo gravitacional e pede para deduzir a forma diferencial (equação de Poisson). Dados e perguntas explicitados:
- Equação integral fornecida:
- Relação entre campo gravitacional e potencial:
- O que se pede: deduzir passo a passo a equação de Poisson
- Significado dos símbolos (para não haver confusão):
-
é o campo gravitacional vetorial (unidade de aceleração). -
é o potencial gravitacional escalar. -
é a densidade de massa (função de posição). -
é a constante gravitacional. -
é um volume arbitrário no espaço e é a superfície que o limita.
-
- Informação adicional que será usada: Teorema do Divergente (que liga integrals de superfície a integrals de volume).
Passo 2
Lembrete do Teorema do Divergente (Teorema de Gauss para campos vetoriais): para um campo vetorial suficientemente suave
,
Aplicando isso ao campo
(o campo gravitacional) transforma a integral de superfície do enunciado em uma integral de volume:
Comparando com a equação integral dada no enunciado, obtemos
Passo 3
Reorganizando as duas integrais sobre o mesmo volume
e juntando em uma única integral:
Agora um argumento padrão de análise: se uma função contínua
tem a propriedade de que
para todo volume arbitrário
, então necessariamente
ponto a ponto (ou ao menos quase em toda parte; sob hipóteses usuais de suavidade dá-se igualdade em todo ponto). Aplicando isso ao integrando obtemos a forma diferencial local:
ou seja
(Observação didática: a razão pela qual podemos trocar integral por igualdade local é que o volume
foi tomado arbitrário — isto “localiza” a lei.)
Passo 4
Substituímos agora a relação entre campo e potencial que nos foi dada:
Calculamos a divergência de
:
A operação
é o Laplaciano do escalar
, que se denota por
. Em coordenadas cartesianas:
Portanto
Passo 5
Substituindo
na igualdade local obtida no Passo 3, temos
Multiplicando por
obtemos finalmente a equação de Poisson:
Passo 6
Comentário didático e intuição curta:
- A equação de Poisson relaciona, ponto a ponto, a curvatura local do potencial (via
) com a densidade de massa . - Em regiões sem massa (
) a equação reduz-se à equação de Laplace . - Para uma massa pontual
em origem com obtém-se , que leva à solução conhecida fora da origem. - Observação sobre hipóteses: a passagem da forma integral para a forma diferencial assume regularidade (suavidade / continuidade apropriada) dos campos; para distribuições singulares (delta de Dirac) usa-se teoria das distribuições, mas o resultado formal continua válido.
Resposta
\nabla^{2}\varphi = 4\pi G \rho