Q20. Determine o raio da órbita de um satélite terráqueo cujo período é de um dia. \mathbf{R} : 42,2 \mathrm{Mm}.

Passo 1

O que o problema pede: determinar o raio da órbita (distância do centro da Terra ao satélite) de um satélite terrestre cujo período é de um dia.
Dados fornecidos: período T igual a um dia (vamos tomar T=24\\ \text{h}=86400\\ \text{s}).
Constantes que usaremos (valores numéricos padrão): \;G constante gravitacional e M massa da Terra. Vou usar os valores:
G=6,67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}},\qquad M=5,97\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
O enunciado dá apenas o período; as outras quantidades acima são constantes que precisamos para calcular o raio.

Passo 2

Qual é a ideia física e a equação básica?
Um satélite em órbita circular fica submetido à força gravitacional da Terra que fornece a aceleração centrípeta necessária para a sua curva. Escrevemos: força gravitacional = força centrípeta. Em fórmulas:
\frac{G M m}{r^{2}} = m \omega^{2} r,
onde
\;m é a massa do satélite (que vai se cancelar),
\;r é o raio da órbita (o que queremos),
\;\omega é a velocidade angular do satélite, relacionada ao período por \omega=\dfrac{2\pi}{T}.
Agora substituímos \omega e cancelamos m para obter uma relação só em r, G, M e T.

Passo 3

Desenvolvendo algebricamente a equação do passo anterior: comece com
\frac{G M}{r^{2}} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2} r.
Multiplicando ambos os lados por r^{2} e rearranjando:
G M = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2} r^{3}.
Isolando r^{3}:
r^{3} = \frac{G M T^{2}}{4\pi^{2}}.
Portanto o raio é
r = \left(\frac{G M T^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}.
Explicação das variáveis (recapitulando): \;G é a constante gravitacional, \;M é a massa da Terra, \;T é o período do satélite (em segundos) e r ficará em metros se usarmos unidades SI.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos e calculamos passo a passo. Primeiro uso o parâmetro gravitacional aproximado \mu=G M. Calculando \mu:
\mu = G M \approx 6,67\times10^{-11}\cdot5,97\times10^{24}=3,986\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}s^{-2}}.
Agora T=86400\\ \mathrm{s} e T^{2} é
T^{2}=86400^{2}=7{,}46496\times10^{9}\\ \mathrm{s^{2}}.
Multiplicando \mu T^{2}:
\mu T^{2}\approx 3,986\times10^{14}\cdot7{,}46496\times10^{9}=2{,}9747\times10^{24}\\ \mathrm{m^{3}}.
Dividimos por 4\pi^{2} (lembre que 4\pi^{2}\approx39{,}4784):
r^{3}=\frac{\mu T^{2}}{4\pi^{2}}\approx\frac{2{,}9747\times10^{24}}{39{,}4784}\approx7{,}54\times10^{22}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora tiramos a raiz cúbica:
r=\left(7{,}54\times10^{22}\right)^{1/3}.
Para fazer isso sem calculadora mentalmente: separamos a mantissa e a potência de 10,
(7{,}54)^{1/3}\approx1{,}96,\qquad 10^{22/3}=10^{7{,}333\ldots}=2{,}154\times10^{7}.
Multiplicando:
r\approx1{,}96\cdot2{,}154\times10^{7}\approx4{,}22\times10^{7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para megametros ( 1\\ \mathrm{Mm}=10^{6}\\ \mathrm{m}) e para km:
r\approx42{,}2\\ \mathrm{Mm}=42{,}200\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Observação prática e encorajamento rápido: o resultado acima foi obtido tomando o dia de 24\\ \text{h}=86400\\ \text{s}. Se quisermos o raio exato da órbita geossíncrona fixa em longitude (geostacionária), usa-se o dia sideral \approx86164\\ \text{s} e o resultado muda pouco (fica por volta de 42{,}07\\ \mathrm{Mm}). Ou seja, a ordem de grandeza e o valor prático são os mesmos — você está correto em usar 42{,}2\\ \mathrm{Mm} como resposta arredondada.

Resposta

42{,}2\\ \mathrm{Mm}

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