Q20. Determine o raio da órbita de um satélite terráqueo cujo período é de um dia.
:
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar o raio da órbita (distância do centro da Terra ao satélite) de um satélite terrestre cujo período é de um dia.
Dados fornecidos: período igual a um dia (vamos tomar
).
Constantes que usaremos (valores numéricos padrão): constante gravitacional e
massa da Terra. Vou usar os valores:
Dados fornecidos: período
Constantes que usaremos (valores numéricos padrão):
O enunciado dá apenas o período; as outras quantidades acima são constantes que precisamos para calcular o raio.
Passo 2
Qual é a ideia física e a equação básica?
Um satélite em órbita circular fica submetido à força gravitacional da Terra que fornece a aceleração centrípeta necessária para a sua curva. Escrevemos: força gravitacional força centrípeta. Em fórmulas:
Um satélite em órbita circular fica submetido à força gravitacional da Terra que fornece a aceleração centrípeta necessária para a sua curva. Escrevemos: força gravitacional
onde
é a massa do satélite (que vai se cancelar),
é o raio da órbita (o que queremos),
é a velocidade angular do satélite, relacionada ao período por
.
Agora substituímos e cancelamos
para obter uma relação só em
,
,
e
.
Agora substituímos
Passo 3
Desenvolvendo algebricamente a equação do passo anterior: comece com
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando:
Isolando
:
Portanto o raio é
Explicação das variáveis (recapitulando):
é a constante gravitacional,
é a massa da Terra,
é o período do satélite (em segundos) e
ficará em metros se usarmos unidades SI.
Passo 4
Substituímos os valores numéricos e calculamos passo a passo. Primeiro uso o parâmetro gravitacional aproximado
. Calculando
:
Agora
e
é
Multiplicando
:
Dividimos por
(lembre que
):
Agora tiramos a raiz cúbica:
Para fazer isso sem calculadora mentalmente: separamos a mantissa e a potência de 10,
Multiplicando:
Convertendo para megametros (
) e para km:
Passo 5
Observação prática e encorajamento rápido: o resultado acima foi obtido tomando o dia de
. Se quisermos o raio exato da órbita geossíncrona fixa em longitude (geostacionária), usa-se o dia sideral
e o resultado muda pouco (fica por volta de
). Ou seja, a ordem de grandeza e o valor prático são os mesmos — você está correto em usar
como resposta arredondada.