Q23. Um projétil é disparado da extremidade de uma colina de 150 m de altura com uma velocidade inicial de 180 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, num ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, determine: (a) o vetor velocidade inicial, (b) a distância horizontal da arma ao ponto onde atinge o projétil, (c) a altura máxima, em relação ao solo, que o projétil alcança e (d) o vetor velocidade final do projétil. R: \vec{v}_{0}=(156 \hat{\dot{\mathrm{i}}}+90 \hat{\dot{\mathrm{j}}}) \mathrm{m} / \mathrm{s} ; 3096 \mathrm{~m} ; 555 \mathrm{~m} ; \vec{v}_{0}=(156 \hat{\dot{\mathrm{i}}}+106 \hat{\dot{\mathrm{j}}}) \mathrm{m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O projétil parte do alto de uma colina de altura inicial y_{0}=150,m com velocidade inicial \|\vec v_{0}\|=180,m/s, formando ângulo de 30^\circ com a horizontal. Vamos usar o modelo de movimento uniformemente variado na vertical (aceleração -g) e movimento uniforme na horizontal. Precisamos decompor a velocidade em componentes, resolver a equação da altura y(t) para encontrar o tempo de voo até y=0, obter o alcance horizontal, calcular a altura máxima e, por fim, calcular a velocidade no instante de impacto.

Passo 2

Decompondo \vec v_{0} em componentes horizontal e vertical:
v_{0x} = v_{0}\cos(30^\circ) \quad,\quad v_{0y} = v_{0}\sin(30^\circ)
Substituindo v_{0}=180,m/s, \cos(30^\circ)=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866 e \sin(30^\circ)=\tfrac12:
v_{0x} = 180\cdot\frac{\sqrt3}{2}\approx156\text{ m/s}, \quad v_{0y} = 180\cdot\frac12 = 90\text{ m/s}.

Passo 3

A posição vertical como função do tempo é
y(t)=y_{0}+v_{0y}\,t-\frac12\,g\,t^{2},
onde tomamos g=9{,}8,m/s ^2. Para achar o tempo de voo t_{f} até o projétil chegar ao solo y=0, resolvemos
0 = 150 + 90\,t_{f} - 4{,}9\,t_{f}^{2}.
Isto é uma equação quadrática 4{,}9\,t_{f}^{2}-90\,t_{f}-150=0. Pela fórmula de Bhaskara,
t_{f} = \frac{90 + \sqrt{90^{2} + 4\cdot4{,}9\cdot150}}{2\cdot4{,}9} \approx 19{,}9\text{ s}.

Passo 4

O alcance horizontal x_{f} é dado por
x_{f} = v_{0x}\,t_{f} \approx 156\text{ m/s}\times 19{,}9\text{ s} \approx 3\,100\text{ m}.

Passo 5

A altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade zera, ou seja em t_{h}=v_{0y}/g\approx90/9{,}8\approx9{,}18,s. A altura correspondente é
y_{\max} = y_{0} + \frac{v_{0y}^{2}}{2g} =150 + \frac{90^{2}}{2\cdot9{,}8} \approx150 + 413{,}3 \approx563\text{ m}.

Passo 6

No instante de impacto, a componente horizontal da velocidade permanece v_{x}(t_{f})=v_{0x}\approx156,m/s e a vertical é
v_{y}(t_{f}) = v_{0y} - g\,t_{f} \approx 90 - 9{,}8\cdot19{,}9 \approx -105\text{ m/s}.
Logo o vetor velocidade final é
\vec v_{f} \approx (156\,\hat{\imath} - 105\,\hat{\jmath})\text{ m/s}.

Resposta

(a) \vec v_{0}=(156\,\hat{\imath}+90\,\hat{\jmath}),m/s
(b) x_{f}\approx3\,100,m
(c) y_{\max}\approx563,m
(d) \vec v_{f}\approx(156\,\hat{\imath}-105\,\hat{\jmath}),m/s

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