$8. (Q26-ITA/2005) Considere a equação em
, sendo m um parâmetro real.
a) Resolva a equação em função do parâmetro
.
a) Resolva a equação em função do parâmetro
Passo 1
O enunciado dá a equação em
onde
é um parâmetro real. O que se pede: encontrar todas as soluções
em função do parâmetro
.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado (diretamente):
- A incógnita é
. - O parâmetro é
. - A equação envolve raízes quadradas
e .
Observações que já podemos anotar (sem resolver ainda):
- Para que as raízes quadradas estejam definidas, os radicandos devem ser não negativos:
- A raiz quadrada retorna um valor não negativo, logo o lado esquerdo
é , e isso impõe restrição também ao lado direito (ele deve ser ).
Passo 2
Domínio (condições necessárias para a expressão fazer sentido).
As duas condições simultâneas
podem ser escritas juntas como
ou seja
Isto é obrigatório para qualquer solução. Em particular,
sempre satisfaz o domínio (pois
).
Também notamos desde já que o lado esquerdo da equação é não negativo, então o lado direito deve ser não negativo:
Isto será verificado quando testarmos candidatas.
Passo 3
Caso especial fácil:
.
Se
a equação vira
logo
. Portanto, para
a única solução é
.
A partir de agora assumimos
e procedemos com manipulações algébricas.
Passo 4
Transformação útil: isolar uma raiz e elevar ao quadrado de forma controlada.
Denote
A equação original é
Isolando
obtemos
Agora elevamos ao quadrado ambos os lados (note que estamos usando que
):
Substituindo
e
dá
Logo
Mas
. Assim obtemos a igualdade (a partir da qual vamos prosseguir)
Passo 5
Consequências imediatas da equação obtida.
Da igualdade
o lado direito deve ser não negativo (já que o lado esquerdo é uma raiz), então
Agora elevamos ao quadrado essa igualdade (novamente com cuidado porque pode gerar extranos), obtendo
Expandindo o quadrado do lado direito:
Simplificando (subtraindo
dos dois lados):
Multiplicando por
:
Colocando
em evidência:
Portanto temos duas possibilidades:
(i)
, ou seja
;
(ii) se
, podemos dividir por
e obter
Passo 6
Resolver a possibilidade (ii) para
.
Da igualdade
obtemos
Para que o lado direito seja não negativo é necessário
, ou seja
Também já tínhamos a restrição
(do passo anterior). Substituindo
nessa desigualdade:
Combinando
e
obtemos
Portanto, para existirem soluções com
é necessário
. Nessas condições
Passo 7
Verificação das soluções candidatas (evitar raízes extranas vindas das quadraturas).
Temos já a solução universal
(válida para todo
). Agora precisamos verificar, para os candidatos
quando eles satisfazem a equação original (lembrando sempre as restrições de domínio).
É conveniente reescrever com a notação
Calcule os radicandos para
:
Essas identidades são verdadeiras porque
.
Então as raízes são
Substituindo na equação original
com
obtemos
Reescrevendo:
Analisemos o sinal de
para decidir os valores absolutos.
-
Se
: então a condição (vista antes) implica . Note que para e temos (pois ). Assim e , então a identidade é verdadeira. Logo para todocom a escolha é de fato solução. O mesmo raciocínio vale trocando o sinal de : para a verificação leva à mesma identidade e também fica satisfeita. Portanto, quando é positivo com , ambas as soluções são válidas (para elas coincidem com ). -
Se
: então seria a região válida por . Mas nesse caso tem sinal negativo e verifica-se que e (pois quando ). Então que é, não igual a (exceto se , i.e. que dá ). Logo para (com ) as candidatas não satisfazem a equação original, salvo o caso degenerado ( ) onde a solução é .
Portanto, as soluções não-nulas só ocorrem quando
é não negativo e relativamente grande:
. Para
não aparecem soluções não-nulas (além de
).
Passo 8
Resumo das soluções, com observações finais.
-
é sempre solução para todo . -
Soluções adicionais aparecem se e somente seNeste caso, com
, as soluções adicionais são Observação: emtem-se e as soluções reduzem para (já contada). Em tem-se , ambos válidos. -
Para
(isto é, ) e também para não existem soluções não-nulas: apenas .
Resposta
Se