$8. (Q26-ITA/2005) Considere a equação em \mathrm{x} \in \mathrm{R} \sqrt{1+\mathrm{mx}}=\mathrm{x}+\sqrt{1-\mathrm{m} \times}, sendo m um parâmetro real.
a) Resolva a equação em função do parâmetro \mathbf{m}.

Passo 1

O enunciado dá a equação em x\in\mathbb{R}
\sqrt{1+m x} = x + \sqrt{1-m x},
onde m é um parâmetro real. O que se pede: encontrar todas as soluções x em função do parâmetro m.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado (diretamente):
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • O parâmetro é m\in\mathbb{R}.
  • A equação envolve raízes quadradas \sqrt{1+m x} e \sqrt{1-m x}.
Observações que já podemos anotar (sem resolver ainda):
  • Para que as raízes quadradas estejam definidas, os radicandos devem ser não negativos: 1 + m x \ge 0 \quad\text{e}\quad 1 - m x \ge 0.
  • A raiz quadrada retorna um valor não negativo, logo o lado esquerdo \sqrt{1+m x} é \ge 0, e isso impõe restrição também ao lado direito x+\sqrt{1-m x} (ele deve ser \ge 0).

Passo 2

Domínio (condições necessárias para a expressão fazer sentido).
As duas condições simultâneas
1+m x \ge 0,\qquad 1-m x \ge 0
podem ser escritas juntas como
-1 \le m x \le 1,
ou seja
|m x| \le 1.
Isto é obrigatório para qualquer solução. Em particular, x=0 sempre satisfaz o domínio (pois 1\pm m\cdot 0=1\ge0).
Também notamos desde já que o lado esquerdo da equação é não negativo, então o lado direito deve ser não negativo:
x + \sqrt{1-m x} \ge 0.
Isto será verificado quando testarmos candidatas.

Passo 3

Caso especial fácil: m=0.
Se m=0 a equação vira
\sqrt{1+0\cdot x} = x + \sqrt{1-0\cdot x}\quad\Longrightarrow\quad 1 = x + 1,
logo x=0. Portanto, para m=0 a única solução é x=0.
A partir de agora assumimos m\neq 0 e procedemos com manipulações algébricas.

Passo 4

Transformação útil: isolar uma raiz e elevar ao quadrado de forma controlada.
Denote
a:=\sqrt{1+m x},\qquad b:=\sqrt{1-m x}.
A equação original é
a = x + b.
Isolando x obtemos
x = a - b.
Agora elevamos ao quadrado ambos os lados (note que estamos usando que a,b\ge0):
x^2 = (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab.
Substituindo a^2=1+m x e b^2=1-m x
x^2 = (1+m x) + (1-m x) - 2ab = 2 - 2ab.
Logo
ab = 1 - \frac{x^2}{2}.
Mas ab=\sqrt{(1+m x)(1-m x)}=\sqrt{1 - m^2 x^2}. Assim obtemos a igualdade (a partir da qual vamos prosseguir)
\sqrt{1 - m^2 x^2} = 1 - \frac{x^2}{2}.

Passo 5

Consequências imediatas da equação obtida.
Da igualdade
\sqrt{1 - m^2 x^2} = 1 - \frac{x^2}{2},
o lado direito deve ser não negativo (já que o lado esquerdo é uma raiz), então
1 - \frac{x^2}{2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 \le 2 \quad\Longrightarrow\quad |x|\le\sqrt{2}.
Agora elevamos ao quadrado essa igualdade (novamente com cuidado porque pode gerar extranos), obtendo
1 - m^2 x^2 = \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)^2.
Expandindo o quadrado do lado direito:
1 - m^2 x^2 = 1 - x^2 + \frac{x^4}{4}.
Simplificando (subtraindo 1 dos dois lados):
- m^2 x^2 = - x^2 + \frac{x^4}{4}.
Multiplicando por -1:
m^2 x^2 = x^2 - \frac{x^4}{4}.
Colocando x^2 em evidência:
x^2 \, m^2 = x^2\left(1 - \frac{x^2}{4}\right).
Portanto temos duas possibilidades:
(i) x^2 = 0, ou seja x=0;
(ii) se x\neq 0, podemos dividir por x^2 e obter
m^2 = 1 - \frac{x^2}{4}.

Passo 6

Resolver a possibilidade (ii) para x\neq 0.
Da igualdade
m^2 = 1 - \frac{x^2}{4}
obtemos
x^2 = 4(1 - m^2).
Para que o lado direito seja não negativo é necessário 1 - m^2 \ge 0, ou seja
m^2 \le 1 \quad\Longrightarrow\quad |m|\le 1.
Também já tínhamos a restrição x^2 \le 2 (do passo anterior). Substituindo x^2 = 4(1-m^2) nessa desigualdade:
4(1-m^2) \le 2 \quad\Longrightarrow\quad 1 - m^2 \le \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad m^2 \ge \frac{1}{2}.
Combinando m^2 \le 1 e m^2 \ge \frac{1}{2} obtemos
\frac{1}{2} \le m^2 \le 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{2}} \le |m| \le 1.
Portanto, para existirem soluções com x\neq 0 é necessário |m|\in\left[\tfrac{1}{\sqrt{2}},1\right]. Nessas condições
x = \pm 2\sqrt{1-m^2}.

Passo 7

Verificação das soluções candidatas (evitar raízes extranas vindas das quadraturas).
Temos já a solução universal x=0 (válida para todo m). Agora precisamos verificar, para os candidatos
x = \pm 2\sqrt{1-m^2},
quando eles satisfazem a equação original (lembrando sempre as restrições de domínio).
É conveniente reescrever com a notação
t := \sqrt{1-m^2}\quad(\text{então } t\ge0,\; x=\pm 2t).ã
Calcule os radicandos para x=2t:
1 + m x = 1 + 2 m t = (t + m)^2,
1 - m x = 1 - 2 m t = (t - m)^2.
Essas identidades são verdadeiras porque (t\pm m)^2 = t^2 + m^2 \pm 2 m t = (1-m^2)+m^2 \pm 2 m t = 1 \pm 2 m t.
Então as raízes são
\sqrt{1 + m x} = |t+m|,\qquad \sqrt{1 - m x} = |t-m|.
Substituindo na equação original \sqrt{1+m x}=x+\sqrt{1-m x} com x=2t obtemos
|t+m| = 2t + |t-m|.
Reescrevendo:
|t+m| - |t-m| = 2t.
Analisemos o sinal de m para decidir os valores absolutos.
  • Se m\ge 0: então a condição m^2\ge\frac{1}{2} (vista antes) implica m\ge \tfrac{1}{\sqrt{2}}. Note que para m\ge 0 e m^2\ge 1/2 temos m\ge t (pois m^2 \ge 1-m^2 \Rightarrow m^2 \ge t^2\Rightarrow m\ge t). Assim t-m\le0 e t+m\ge0, então
    |t+m| - |t-m| = (t+m) - (m-t) = 2t,
    a identidade é verdadeira. Logo para todo m com \tfrac{1}{\sqrt{2}}\le m \le 1 a escolha x=2t é de fato solução. O mesmo raciocínio vale trocando o sinal de x: para x=-2t a verificação leva à mesma identidade e também fica satisfeita. Portanto, quando m é positivo com \tfrac{1}{\sqrt{2}}\le m \le 1, ambas as soluções x=\pm 2\sqrt{1-m^2} são válidas (para m=1 elas coincidem com x=0).
  • Se m<0: então m\le -\tfrac{1}{\sqrt{2}} seria a região válida por m^2\ge 1/2. Mas nesse caso m tem sinal negativo e verifica-se que t+m<0 e t-m>0 (pois |m|>t quando m^2>1/2). Então
    |t+m| - |t-m| = -(t+m) - (t-m) = -2t,
    que é -2t, não igual a +2t (exceto se t=0, i.e. m=\pm1 que dá x=0). Logo para m<0 (com m^2\ge1/2) as candidatas x=\pm 2\sqrt{1-m^2} não satisfazem a equação original, salvo o caso degenerado t=0 ( m=\pm1) onde a solução é x=0.
Portanto, as soluções não-nulas só ocorrem quando m é não negativo e relativamente grande: \tfrac{1}{\sqrt{2}}\le m \le 1. Para m<0 não aparecem soluções não-nulas (além de x=0).

Passo 8

Resumo das soluções, com observações finais.
  • x=0 é sempre solução para todo m\in\mathbb{R}.
  • Soluções adicionais aparecem se e somente se
    \frac{1}{\sqrt{2}} \le m \le 1.
    Neste caso, com t=\sqrt{1-m^2}, as soluções adicionais são
    x = \pm 2\sqrt{1-m^2}.
    Observação: em m=1 tem-se t=0 e as soluções \pm 2t reduzem para x=0 (já contada). Em m=\tfrac{1}{\sqrt{2}} tem-se x=\pm\sqrt{2}, ambos válidos.
  • Para m<\tfrac{1}{\sqrt{2}} (isto é, m<1/\sqrt{2}) e também para m>1 não existem soluções não-nulas: apenas x=0.

Resposta

x=0 para todo m\in\mathbb{R}.
Se \dfrac{1}{\sqrt{2}}\le m\le 1, existem ainda as soluções x=\pm 2\sqrt{1-m^{2}} (que degeneram para x=0 quando m=1).

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