1. (Q22-ITA/2006) Seja
    f:[0,1) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x, 0 \leq x<1 / 2 \\\\ 2 x-1,1 / 2 \leq x<1\end{array}\right..
    Seja
    g:(-1 / 2,1 / 2) \rightarrow \mathbb{R} dada por g(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x+1 / 2),-1 / 2<x<0 \\\\ 1-f(x+1 / 2), 0 \leq x<1 / 2\end{array}\right. com \mathbf{f} definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar.

Passo 1

O enunciado dá as funções seguintes:
  • f:[0,1)\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x)=\begin{cases} 2x, & 0\le x<1/2,\\[4pt] 2x-1, & 1/2\le x<1. \end{cases}
  • (g:(-1/2,1/2)\to\mathbb{R}] definida por
    g(x)=\begin{cases} f(x+1/2), & -1/2<x<0,\\[4pt] 1-f(x+1/2), & 0\le x<1/2. \end{cases}
A pergunta é: justificando a resposta, determinar se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar.]

Passo 2

Lembrando as definições (passo didático):
  • Uma função h com domínio simétrico em relação a 0 é par se vale
h(-x)=h(x)\quad\text{para todo }x\text{ do domínio}.í
  • É ímpar se vale
h(-x)=-h(x)\quad\text{para todo }x\text{ do domínio}.í
Observação útil: se h fosse ímpar, necessariamente h(0)=0. Primeiro verificamos o domínio de g: é (-1/2,1/2), que é simétrico em relação a 0, portanto as definições acima podem ser testadas.

Passo 3

Calcular g(0) para já eliminar a possibilidade de g ser ímpar (se for diferente de zero, não pode ser ímpar). Como 0 pertence à segunda ramo de g,
g(0)=1-f(0+1/2)=1-f(1/2).
Agora usamos f em x=1/2. Pelo enunciado 1/2 está no segundo ramo de f, então
f(1/2)=2\cdot\frac{1}{2}-1=1-1=0.
Logo
g(0)=1-0=1.
Como g(0)=1\neq 0, concluímos que g não pode ser ímpar.

Passo 4

Agora testamos se g é par, ou seja, se g(-x)=g(x) para todo x no domínio. É suficiente verificar para x\in(0,1/2) (o caso x=0 já foi feito). Tome x\in(0,1/2). Então -x\in(-1/2,0). Usamos as definições de g em cada ramo.
Para x\in(0,1/2) temos
g(x)=1-f(x+1/2).
Observe o argumento de f: x+1/2\in(1/2,1), portanto usa-se o segundo ramo de f, que dá
f(x+1/2)=2(x+1/2)-1=2x+1-1=2x.
Assim
g(x)=1-2x.

Passo 5

Para -x (com x\in(0,1/2)) usamos o outro ramo de g:
g(-x)=f(-x+1/2)=f(1/2-x).
Agora 1/2-x\in(0,1/2), portanto usa-se o primeiro ramo de f, que dá
f(1/2-x)=2(1/2-x)=1-2x.
Logo
g(-x)=1-2x.

Passo 6

Comparando os resultados dos Passos 4 e 5, para todo x\in(0,1/2) obtemos
g(-x)=1-2x=g(x).
Já vimos também que g(0)=1 (consistente com a paridade, pois função par só exige g(0)=g(0)). Portanto g(-x)=g(x) para todo x\in(-1/2,1/2). Concluímos que g é par. Também já eliminamos a possibilidade de ser ímpar.

Resposta

g é par.

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