Q3 (30pts) Seja W o subespaço de R^5 gerado pelos vetores u=(1,2,3,-1,2) e v=(2,1,3,2,-1). Determine uma base de W^perp

Passo 1

O enunciado pede a base de
W^perp=xinR^5mid xcdot u=0,;xcdot v=0,
sendo
u=(1,2,3,-1,2), v=(2,1,3,2,-1)
O conteúdo aqui é produto escalar e subespaços ortogonais, que nos leva a resolver um sistema linear homogêneo.

Passo 2

Seja x=(x1,x2,x3,x4,x5). As condições xcdot u=0 e xcdot v=0 geram o sistema
x1 +2x2 +3x3 -x4 +2x5 = 0, 2x1 +x2 +3x3 +2x4 -x5 = 0

Passo 3

Da primeira equação isolamos
x1 = -2x2 -3x3 +x4 -2x5
Substituindo na segunda equação obtém-se
-3x2 -3x3 +4x4 -5x5 = 0
Ou seja,
-3x2 = 3x3 -4x4 +5x5

Passo 4

Escolhemos as variáveis livres
x3=s, x4=t, x5=u
Então
x2 = -3s +4t -5u3, x1 = -2x2 -3s +t -2u = -3s -5t +4u3

Passo 5

Escrevendo a solução geral
x = l(x1,x2,x3,x4,x5r) = s,l(-1,-1,1,0,0r) + t,l(-tfrac53,tfrac43,0,1,0r) + u,l(tfrac43,-tfrac53,0,0,1r)
Para eliminar frações, podemos reagrupar os três vetores multiplicando o segundo e o terceiro por 3, o que mantém a independência linear. Assim uma base inteira de W^perp é
l(-1,-1,1,0,0),;(-5,4,0,3,0),;(4,-5,0,0,3)r

Resposta

Uma base de W^perp é
,(-1,-1,1,0,0),;(-5,4,0,3,0),;(4,-5,0,0,3)

Exercícios relacionados