Q5. Encontre os pontos críticos das funções:
Observação (Como encontrar pontos críticos):
Para encontrar os pontos críticos de uma função f(x), siga os passos:
  1. Calcule a derivada f^{\prime}(x).
  2. Verifique os valores onde f^{\prime}(x) não existe, mas estão no domínio de f(x).
  3. Encontre os valores de x que satisfaz a equação f^{\prime}(x)=0.
  4. Os pontos críticos são todos os valores de x encontrados nos passos anteriores.
    f(x)=x^{4}-4 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função f(x)=x^{4}-4x^{2}.
Informações que temos:
  • A função é f(x)=x^{4}-4x^{2}.
  • Devemos achar todos os valores de x no domínio de f onde f^{\prime}(x)=0 ou onde f^{\prime}(x) não existe.
  • Observação útil: polinômios têm domínio \mathbb{R} (todos os números reais).

Passo 2

Relembrando o que é um ponto crítico (com calma e sem mistério):
  • Um ponto crítico é qualquer x no domínio de f tal que
f^{\prime}(x)=0
ou f^{\prime}(x) não existe.
  • Para calcular f^{\prime}(x) usamos regras básicas de derivação: a regra do poder (“power rule”) diz que a derivada de x^{n} é n x^{n-1}; a derivada de uma soma é soma das derivadas; constantes saem multiplicando.

Passo 3

Calcular a derivada de f passo a passo usando a regra do poder:
  • Derivada de x^{4} é 4x^{3}.
  • Derivada de -4x^{2} é -4\cdot 2 x^{1} = -8x.
    Portanto,
f^{\prime}(x)=4x^{3}-8x.

Passo 4

Verificar onde f^{\prime}(x) não existe:
  • f^{\prime}(x)=4x^{3}-8x é um polinômio, e polinômios estão definidos e são diferenciáveis para todo x\in\mathbb{R}.
  • Logo, não há pontos no domínio de f onde f^{\prime}(x) seja indefinida. Só restam as soluções de f^{\prime}(x)=0.

Passo 5

Resolver f^{\prime}(x)=0. Partimos de
4x^{3}-8x=0.
Fatorando um 4x (fato comum) temos
4x\,(x^{2}-2)=0.
As soluções dessa equação são obtidas resolvendo cada fator igual a zero:
  • 4x=0 \Rightarrow x=0.
  • x^{2}-2=0 \Rightarrow x^{2}=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}.

Passo 6

Se for útil, calcular as coordenadas dos pontos críticos (ou seja, os valores de f nesses x):
  • f(0)=0^{4}-4\cdot0^{2}=0.
  • Para x=\pm\sqrt{2}, note que x^{2}=2 e x^{4}=(x^{2})^{2}=4. Então
f(\pm\sqrt{2})=x^{4}-4x^{2}=4-4\cdot 2=4-8=-4.
Portanto os pontos no plano são (0,0), (\sqrt{2},-4) e (-\sqrt{2},-4).

Passo 7

(pequena aula extra — como classificar rápido cada ponto se precisar na prova)
  • A segunda derivada é
f^{\prime\prime}(x)=\frac{d}{dx}(4x^{3}-8x)=12x^{2}-8.
Avaliar para classificar:
  • f^{\prime\prime}(0)=12\cdot 0^{2}-8=-8<0, logo em x=0 há um máximo local.
  • f^{\prime\prime}(\pm\sqrt{2})=12\cdot(\sqrt{2})^{2}-8=12\cdot 2-8=24-8=16>0, logo em x=\pm\sqrt{2} há mínimos locais.
    Isto é útil se a prova pedir máximo/mínimo; se só pedirem pontos críticos, os x encontrados já bastam.

Resposta

(0,0)
(\sqrt{2},-4)
(-\sqrt{2},-4)

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