Q5. Encontre os pontos críticos das funções:
Observação (Como encontrar pontos críticos):
Para encontrar os pontos críticos de uma função
, siga os passos:
- Calcule a derivada
.
- Verifique os valores onde
não existe, mas estão no domínio de
.
- Encontre os valores de
que satisfaz a equação
.
- Os pontos críticos são todos os valores de
encontrados nos passos anteriores.
Para encontrar os pontos críticos de uma função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
.
Informações que temos:
- A função é
. - Devemos achar todos os valores de
no domínio de onde ou onde não existe. - Observação útil: polinômios têm domínio
(todos os números reais).
Passo 2
Relembrando o que é um ponto crítico (com calma e sem mistério):
- Um ponto crítico é qualquer
no domínio de tal que
ou
não existe.
- Para calcular
usamos regras básicas de derivação: a regra do poder (“power rule”) diz que a derivada de é ; a derivada de uma soma é soma das derivadas; constantes saem multiplicando.
Passo 3
Calcular a derivada de
passo a passo usando a regra do poder:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto,
Passo 4
Verificar onde
não existe:
-
é um polinômio, e polinômios estão definidos e são diferenciáveis para todo . - Logo, não há pontos no domínio de
onde seja indefinida. Só restam as soluções de .
Passo 5
Resolver
. Partimos de
Fatorando um
(fato comum) temos
As soluções dessa equação são obtidas resolvendo cada fator igual a zero:
-
. -
.
Passo 6
Se for útil, calcular as coordenadas dos pontos críticos (ou seja, os valores de
nesses
):
-
. - Para
, note que e . Então
Portanto os pontos no plano são
,
e
.
Passo 7
(pequena aula extra — como classificar rápido cada ponto se precisar na prova)
- A segunda derivada é
Avaliar para classificar:
-
, logo em há um máximo local. -
, logo em há mínimos locais.
Isto é útil se a prova pedir máximo/mínimo; se só pedirem pontos críticos, osencontrados já bastam.