Q3: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I) Se T é diagonalizável, então T é simétrica.
II) Se \vec{u} e \vec{v} são autovetores de uma matriz simétrica, então $\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=0.

Passo 1

O enunciado pede para escolher a alternativa correta entre (A) a (E) sobre as duas afirmações I e II. As afirmativas são:
I) Se T é diagonalizável, então T é simétrica.
II) Se \vec{u} e \vec{v} são autovetores de uma matriz simétrica, então \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\quad - Temos duas sentenças sobre autovalores/autovetores, diagonalização e simetria.
\quad - A escolha deve indicar quais das sentenças são verdadeiras/falsas.
Nada mais foi fornecido (sem figuras). A partir daqui vamos explicar os conceitos e decidir a veracidade de I e II.

Passo 2

Primeiro, definições e conceitos que vamos usar (devagar e com calma).
Definição de “diagonalizável”:
\quad Uma transformação linear T (ou matriz A) é dita diagonalizável se existe uma base do espaço formada por autovetores de T. Em termos de matrizes, isso significa que existe uma matriz invertível P tal que
P^{-1} A P = D,
onde D é uma matriz diagonal. Aqui D contém os autovalores na diagonal e as colunas de P são autovetores de A. Ter uma base de autovetores significa que conseguimos representar T apenas por escalares nas direções próprias — isso facilita MUITO as contas.
Definição de “matriz simétrica”:
\quad Uma matriz real A é simétrica quando
A^{T} = A.
Ex.: \begin{pmatrix}2 & 3\\\ 3 & 5\end{pmatrix} é simétrica.
Produto interno padrão: \langle x,y\rangle é a soma das componentes multiplicadas, por exemplo \langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2.

Passo 3

Propriedade central (teorema espectral, explicado de forma direta):
Se A é matriz real simétrica então:
\quad (a) todos os autovalores de A são reais;
\quad (b) autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais;
\quad (c) existe uma base ortonormal de autovetores, logo A é diagonalizável por uma matriz ortogonal (portanto diagonalização com vetores ortonormais).
Vou demonstrar o item (b) — porque é curto e útil aqui: suponha A simétrica, A\vec{u}=\lambda\vec{u} e A\vec{v}=\mu\vec{v}. Então
\langle A\vec{u},\vec{v}\rangle = \lambda\langle\vec{u},\vec{v}\rangle.
Mas como A é simétrica temos \langle A\vec{u},\vec{v}\rangle = \langle \vec{u},A\vec{v}\rangle. Substituindo,
\langle \vec{u},A\vec{v}\rangle = \langle \vec{u},\mu\vec{v}\rangle = \mu\langle\vec{u},\vec{v}\rangle.
Logo \lambda\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = \mu\langle\vec{u},\vec{v}\rangle. Se \lambda\neq\mu, isso força \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=0. Portanto autovetores com autovalores diferentes são ortogonais.
Observação importante: a demonstração mostra ortogonalidade quando os autovalores são distintos. Não prova (nem implica) que quaisquer dois autovetores (possivelmente do mesmo autovalor) são ortogonais automaticamente.

Passo 4

Agora vamos analisar I) com base no que sabemos.
I) Diz: “Se T é diagonalizável, então T é simétrica.”
Isso é uma afirmação do tipo “diagonalizável => simétrica”. Do que vimos: simétrico implica diagonalizável (pelo teorema espectral), mas a recíproca nem sempre vale. Existem matrizes que são diagonalizáveis mas não são simétricas. Então a afirmação I é suspeita — provavelmente falsa. Vou dar um contraexemplo concreto e mostrar passo a passo.

Passo 5

Contraexemplo para I (matriz diagonalizável, não simétrica). Considere a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Primeiro, A não é simétrica porque
A^{T} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \neq A.
Agora mostramos que A é diagonalizável encontrando dois autovetores linearmente independentes.
Calcule autovalores: resolvemos \det(A-\lambda I)=0.
\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt] 0 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(2-\lambda)=0.
Logo autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=2 (dois autovalores distintos). Uma matriz com dois autovalores distintos em \mathbb{R}^{2} tem dois autovetores linearmente independentes e, portanto, é diagonalizável.
Encontrando autovetores:
Para \lambda_1=1, resolvemos (A-I)\vec{x}=0, ou
\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Isso dá a equação x_2=0. Podemos escolher autovetor \vec{u}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=2, resolvemos (A-2I)\vec{x}=0, ou
\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Isso dá -x_1+x_2=0, logo x_2=x_1. Podemos escolher autovetor \vec{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Os dois autovetores \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes, portanto formam uma base de autovetores e A é diagonalizável. Conclusão: A é diagonalizável e não é simétrica. Logo a afirmação I é falsa.]

Passo 6

Comentário didático sobre I:
É comum confundir “matriz diagonalizável” com “matriz diagonal” ou com “matriz simétrica”. O que o teorema espectral garante é que matrizes simétricas reais são diagonalizáveis por uma matriz ortogonal (além de darem autovetores ortonormais). Mas muitas matrizes diagonizáveis não são simétricas; diagonalizável significa apenas que existe alguma base de autovetores, não que a matriz seja igual à sua transposta.

Passo 7

Agora analisamos II).
II) Diz: “Se \vec{u} e \vec{v} são autovetores de uma matriz simétrica, então \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=0.”
A pergunta chave: há alguma hipótese faltando? Como vimos no Passo 3, autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. Mas se \vec{u} e \vec{v} correspondem ao mesmo autovalor (ou seja, pertencem à mesma multiplicidade de autovalor), não é obrigatório que sejam ortogonais — eles podem ser não ortogonais. Entretanto, dentro do espaço próprio (eigenspace) correspondente a um autovalor podemos aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal; mas isso não significa que quaisquer dois autovetores escolhidos aleatoriamente sejam ortogonais.
Portanto a afirmação II, tal como escrita sem restrição sobre autovalores distintos, é falsa. Vou dar um contraexemplo simples.

Passo 8

Contraexemplo para II: use a matriz identidade
I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Esta matriz é simétrica. Todo vetor \vec{w}\in\mathbb{R}^2 é autovetor de I_2 com autovalor 1. Escolha, por exemplo,
\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \vec{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Ambos são autovetores de I_2. O produto interno é
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = 1\cdot 1 + 0\cdot 1 = 1 \neq 0.
Logo existem autovetores de uma matriz simétrica que não são ortogonais, o que mostra que a afirmação II (na forma dada) é falsa.]

Passo 9

Comentário didático sobre II:
O que é verdadeiramente correto é: “Se A é simétrica, então autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.” Além disso, podemos escolher, em cada espaço próprio (autovalor com multiplicidade >1), uma base ortonormal; assim existe uma base completa de autovetores ortonormais. Mas isso não equivale a dizer que quaisquer dois autovetores quaisquer (sem condição sobre os autovalores) são ortogonais.

Passo 10

Conclusão final combinando os resultados: I é falsa (contraponto com exemplo de matriz diagonalizável não simétrica) e II é falsa (contraexemplo com a matriz identidade). Portanto ambas as afirmações são falsas.

Resposta

(C) Todas são falsas.

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