Q5:
Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I) Se
\left\{\vec{q}_{1}, \vec{q}_{2}, \vec{q}_{3}\right\} é um conjunto ortogonal então \left\{c_{1} \vec{q}_{1}, c_{2} \vec{q}_{2}, c_{3} \vec{q}_{3}\right\} também é ortogonal.
II) Se \vec{x} é solução no sentido dos mínimos quadrados de A \vec{x}=\vec{b}, então \vec{b}-A \vec{x}=\overrightarrow{0}.

Passo 1

O enunciado pede que você escolha qual alternativa entre \text{(A)} a \text{(E)} é correta, avaliando a veracidade das duas afirmativas I e II abaixo:
I) Se \left\{\vec{q}_{1}, \vec{q}_{2}, \vec{q}_{3}\right\} é um conjunto ortogonal então \left\{c_{1} \vec{q}_{1}, c_{2} \vec{q}_{2}, c_{3} \vec{q}_{3}\right\} também é ortogonal.
II) Se \vec{x} é solução no sentido dos mínimos quadrados de A \vec{x}=\vec{b}, então \vec{b}-A \vec{x}=\overrightarrow{0}.
Informações dadas: as duas afirmativas acima são para serem julgadas verdadeiras ou falsas; não há restrição explícita sobre os escalares c_{1},c_{2},c_{3} nem sobre A,\vec{b}.

Passo 2

Entender exatamente o que significa “conjunto ortogonal” e a propriedade do produto escalar sob escalares. Definição e fatos úteis:
  • Dois vetores \vec{u} e \vec{v} são ortogonais quando o produto escalar vale zero, isto é \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
  • Uma coleção \{\vec{q}_1,\vec{q}_2,\ldots\} é chamada de conjunto ortogonal quando os vetores são pareados ortogonais entre si (isto é, \vec{q}_i\cdot\vec{q}_j=0 para todo i\neq j). Importante: muitas definições exigem também que os vetores sejam não nulos (sem o vetor zero), porque normalmente não consideramos conjuntos ortogonais que contenham o vetor nulo.
  • Produto escalar e escalares: para quaisquer escalares c,d e vetores \vec{u},\vec{v} vale a propriedade distributiva em escalares
(c\vec{u})\cdot(d\vec{v}) = cd\,(\vec{u}\cdot\vec{v}).
Isso significa que escalar vetores multiplica o produto escalar pelo produto dos escalares.

Passo 3

Aplicando o fato do Passo 2 à afirmativa I:
  • Se \vec{q}_i\cdot\vec{q}_j=0 para i\neq j, então para os vetores escalados temos
(c_i\vec{q}_i)\cdot(c_j\vec{q}_j) = c_i c_j \,(\vec{q}_i\cdot\vec{q}_j) = c_i c_j \cdot 0 = 0,
ou seja, cada par diferente permanece ortogonal após escalares multiplicativos, desde que olhemos apenas à propriedade de produto escalar ser zero. Portanto, do ponto de vista puramente “produto escalar = 0”, o pareamento ortogonal é preservado por qualquer escolha dos escalares c_i.
  • Contudo, se algum c_k=0 então c_k\vec{q}_k = \overrightarrow{0}. Se adotarmos a definição que exige vetores não nulos para chamar um conjunto de “ortogonal”, então a presença do vetor zero faz o conjunto deix ar de ser um “conjunto ortogonal” (pois normalmente se exige não inclusão do vetor zero). Assim a afirmativa I, escrita sem restrição sobre os c_i, pode falhar: ela só é garantida quando todos os c_i são não nulos.

Passo 4

Construindo um contraexemplo simples para I (mostrando que a afirmação, tal como está escrita, é falsa): tome
\vec{q}_1=(1,0,0),\quad \vec{q}_2=(0,1,0),\quad \vec{q}_3=(0,0,1),
que formam um conjunto ortogonal (são as bases canônicas, todas não nulas e mutuamente ortogonais). Escolha escalares c_1=0,\; c_2=2,\; c_3=3. Então
c_1\vec{q}_1=\overrightarrow{0},\quad c_2\vec{q}_2=(0,2,0),\quad c_3\vec{q}_3=(0,0,3).
Embora \overrightarrow{0} seja ortogonal a todos os vetores no sentido do produto escalar, na maioria das definições de “conjunto ortogonal” não se permite o vetor nulo. Logo o conjunto escalado não é um conjunto ortogonal segundo essa definição padrão. Conclusão: I é falsa como afirmação geral (é verdadeira apenas se for acrescentada a condição c_i\neq 0 para todo i).

Passo 5

Agora vamos para a afirmativa II. Primeiro, entender o que é solução em mínimos quadrados e quais propriedades ela satisfaz.
  • A solução no sentido dos mínimos quadrados de A\vec{x}=\vec{b} é qualquer \vec{x} que minimize a norma do erro \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2.
  • A condição necessária (e suficiente, para o mínimo) é que o residual \vec{r}=\vec{b}-A\vec{x} seja ortogonal ao espaço coluna de A. Isso se escreve pela equação normal
A^{T}(A\vec{x}-\vec{b})=\overrightarrow{0},
ou equivalentemente
A^{T}\vec{r}=\overrightarrow{0}.
  • Note que isso diz que \vec{r} é ortogonal a todas as colunas de A, não que \vec{r}=\overrightarrow{0}. O residual será nulo (isto é, \vec{b}-A\vec{x}=\overrightarrow{0}) somente se \vec{b} já pertencer à coluna de A (ou seja, se o sistema tiver solução exata). Em geral, para um problema de mínimos quadrados com \vec{b} fora da coluna de A, o residual é não nulo.

Passo 6

Contraexemplo numérico para II (mostrando que a afirmação é falsa em geral): escolha
A=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Aqui A é 2\times1. Procuramos \vec{x}\in\mathbb{R} que minimize \|A x-\vec{b}\|^2. As equações normais são
A^{T}(Ax-b)=0 \quad\Rightarrow\quad (1\;0)\big((x,0)^T-(0,1)^T\big)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Então a solução de mínimos quadrados é x=0. O residual correspondente é
\vec{b}-A x = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}\neq\overrightarrow{0}.
Portanto há solução de mínimos quadrados com residual não nulo, logo a afirmação II é falsa.]

Passo 7

Conclusão combinada: I é falsa (sem a hipótese adicional c_i\neq 0 para todo i) e II é falsa (a menos que \vec{b} já esteja na coluna de A). Assim as duas afirmativas são falsas.

Resposta

(A)

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