Q5:
Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I) Se
é um conjunto ortogonal então
também é ortogonal.
II) Se
é solução no sentido dos mínimos quadrados de
, então
.
Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I) Se
II) Se
Passo 1
O enunciado pede que você escolha qual alternativa entre
a
é correta, avaliando a veracidade das duas afirmativas I e II abaixo:
I) Se é um conjunto ortogonal então
também é ortogonal.
II) Se é solução no sentido dos mínimos quadrados de
, então
.
I) Se
II) Se
Informações dadas: as duas afirmativas acima são para serem julgadas verdadeiras ou falsas; não há restrição explícita sobre os escalares
nem sobre
.
Passo 2
Entender exatamente o que significa “conjunto ortogonal” e a propriedade do produto escalar sob escalares. Definição e fatos úteis:
- Dois vetores
e são ortogonais quando o produto escalar vale zero, isto é . - Uma coleção
é chamada de conjunto ortogonal quando os vetores são pareados ortogonais entre si (isto é, para todo ). Importante: muitas definições exigem também que os vetores sejam não nulos (sem o vetor zero), porque normalmente não consideramos conjuntos ortogonais que contenham o vetor nulo. - Produto escalar e escalares: para quaisquer escalares
e vetores vale a propriedade distributiva em escalares
Isso significa que escalar vetores multiplica o produto escalar pelo produto dos escalares.
Passo 3
Aplicando o fato do Passo 2 à afirmativa I:
- Se
para , então para os vetores escalados temos
ou seja, cada par diferente permanece ortogonal após escalares multiplicativos, desde que olhemos apenas à propriedade de produto escalar ser zero. Portanto, do ponto de vista puramente “produto escalar = 0”, o pareamento ortogonal é preservado por qualquer escolha dos escalares
.
- Contudo, se algum
então . Se adotarmos a definição que exige vetores não nulos para chamar um conjunto de “ortogonal”, então a presença do vetor zero faz o conjunto deix ar de ser um “conjunto ortogonal” (pois normalmente se exige não inclusão do vetor zero). Assim a afirmativa I, escrita sem restrição sobre os , pode falhar: ela só é garantida quando todos os são não nulos.
Passo 4
Construindo um contraexemplo simples para I (mostrando que a afirmação, tal como está escrita, é falsa): tome
que formam um conjunto ortogonal (são as bases canônicas, todas não nulas e mutuamente ortogonais). Escolha escalares
. Então
Embora
seja ortogonal a todos os vetores no sentido do produto escalar, na maioria das definições de “conjunto ortogonal” não se permite o vetor nulo. Logo o conjunto escalado não é um conjunto ortogonal segundo essa definição padrão. Conclusão: I é falsa como afirmação geral (é verdadeira apenas se for acrescentada a condição
para todo
).
Passo 5
Agora vamos para a afirmativa II. Primeiro, entender o que é solução em mínimos quadrados e quais propriedades ela satisfaz.
- A solução no sentido dos mínimos quadrados de
é qualquer que minimize a norma do erro . - A condição necessária (e suficiente, para o mínimo) é que o residual
seja ortogonal ao espaço coluna de . Isso se escreve pela equação normal
ou equivalentemente
- Note que isso diz que
é ortogonal a todas as colunas de , não que . O residual será nulo (isto é, ) somente se já pertencer à coluna de (ou seja, se o sistema tiver solução exata). Em geral, para um problema de mínimos quadrados com fora da coluna de , o residual é não nulo.
Passo 6
Contraexemplo numérico para II (mostrando que a afirmação é falsa em geral): escolha
Aqui
é
. Procuramos
que minimize
. As equações normais são
Então a solução de mínimos quadrados é
. O residual correspondente é
Portanto há solução de mínimos quadrados com residual não nulo, logo a afirmação II é falsa.]
Passo 7
Conclusão combinada: I é falsa (sem a hipótese adicional
para todo
) e II é falsa (a menos que
já esteja na coluna de
). Assim as duas afirmativas são falsas.
Resposta
(A)