Q3) Uma pedra A é lançada verticalmente para cima a partir do solo, com a velocidade
. Simultaneamente, na mesma vertical, outra pedra B é abandonada a partir do repouso do alto de um edifício de altura H . Desprezando a resistência do ar e sendo g a aceleração da gravidade, determine:
a) o instante em que as pedras colidem;
b) a altura, relativamente ao solo, em que ocorre a colisão.
a) o instante em que as pedras colidem;
b) a altura, relativamente ao solo, em que ocorre a colisão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática! O problema fala sobre duas pedras em movimento vertical: a pedra A é lançada para cima com uma velocidade inicial $ v_{0} $ do solo, e a pedra B é solta do alto de um edifício com altura $ H $. Nosso objetivo é descobrir quando e onde elas se encontram. Para isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado, considerando a aceleração da gravidade $ g $ e desconsiderando a resistência do ar.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o sistema de referência. Vamos considerar o solo como o ponto de referência (posição $ y = 0 $) e para cima como a direção positiva.
Para a pedra A, que é lançada para cima:
- Posição inicial: $ y_{A0} = 0 $
- Velocidade inicial: $ v_{A0} = v_{0} $
- A aceleração é $ a_{A} = -g $ (porque a gravidade atua para baixo)
A posição da pedra A no tempo $ t $ pode ser descrita pela equação:
Passo 3
Para a pedra B, que é solta do alto do edifício:
- Posição inicial: $ y_{B0} = H $
- Velocidade inicial: $ v_{B0} = 0 $ (ela é abandonada do repouso)
- A aceleração é $ a_{B} = -g $
A posição da pedra B no tempo $ t $ é:
Passo 4
As pedras vão se encontrar quando estiverem na mesma posição no mesmo instante. Então, vamos igualar as duas equações de posição:
Perceba que os termos
se cancelam dos dois lados:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ t $:
Esse é o instante em que as pedras colidem.
Passo 6
Para encontrar a altura em que ocorre a colisão em relação ao solo, podemos substituir o valor de $ t $ na equação de posição de qualquer uma das pedras. Vamos usar a equação da pedra A:
Resposta
a) O instante em que as pedras colidem é $ t = \frac{H}{v_{0}} $.
b) A altura em que ocorre a colisão em relação ao solo é $ y = H \left(1 - \frac{g H}{2 v_{0}^{2}}\right) $.