Q3) Uma pedra A é lançada verticalmente para cima a partir do solo, com a velocidade v0. Simultaneamente, na mesma vertical, outra pedra B é abandonada a partir do repouso do alto de um edifício de altura H . Desprezando a resistência do ar e sendo g a aceleração da gravidade, determine:
a) o instante em que as pedras colidem;
b) a altura, relativamente ao solo, em que ocorre a colisão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática! O problema fala sobre duas pedras em movimento vertical: a pedra A é lançada para cima com uma velocidade inicial $ v_{0} $ do solo, e a pedra B é solta do alto de um edifício com altura $ H $. Nosso objetivo é descobrir quando e onde elas se encontram. Para isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado, considerando a aceleração da gravidade $ g $ e desconsiderando a resistência do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o sistema de referência. Vamos considerar o solo como o ponto de referência (posição $ y = 0 $) e para cima como a direção positiva.
Para a pedra A, que é lançada para cima:
  • Posição inicial: $ y_{A0} = 0 $
  • Velocidade inicial: $ v_{A0} = v_{0} $
  • A aceleração é $ a_{A} = -g $ (porque a gravidade atua para baixo)
A posição da pedra A no tempo $ t $ pode ser descrita pela equação:
y = 0

Passo 3

Para a pedra B, que é solta do alto do edifício:
  • Posição inicial: $ y_{B0} = H $
  • Velocidade inicial: $ v_{B0} = 0 $ (ela é abandonada do repouso)
  • A aceleração é $ a_{B} = -g $
A posição da pedra B no tempo $ t $ é:
yB0 = H

Passo 4

As pedras vão se encontrar quando estiverem na mesma posição no mesmo instante. Então, vamos igualar as duas equações de posição:
yA(t) = yB(t)
v0 t - 12 g t^2 = H - 12 g t^2
Perceba que os termos -12 g t^2 se cancelam dos dois lados:
v0 t = H

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ t $:
t
Esse é o instante em que as pedras colidem.

Passo 6

Para encontrar a altura em que ocorre a colisão em relação ao solo, podemos substituir o valor de $ t $ na equação de posição de qualquer uma das pedras. Vamos usar a equação da pedra A:
t
yA(t) = v0 t - 12 g t^2
yA(Hv0) = v0 (Hv0) - 12 g (Hv0)^2
yA = H - 12 g H^2v0^2

Resposta

a) O instante em que as pedras colidem é $ t = \frac{H}{v_{0}} $.
b) A altura em que ocorre a colisão em relação ao solo é $ y = H \left(1 - \frac{g H}{2 v_{0}^{2}}\right) $.

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