Um balão de hélio é utilizado para elevar uma carga de 40 kg a una altitude de 27 km , onde a densidade do ar é
. O balâo tem massa de 15 kg , e a densidade do gás no balão é de
. Qual é o volume do balâo? Despreze o volume da carga.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um balão de hélio que precisa levantar uma carga de 40 kg até uma altitude de 27 km. Nessa altitude, a densidade do ar é de
. Além disso, o balão em si pesa 15 kg e a densidade do gás no balão é
. Queremos descobrir qual é o volume do balão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força de empuxo e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força de empuxo é a força que o ar exerce para empurrar o balão para cima. Essa força é igual ao peso do ar que o balão desloca. A fórmula para a força de empuxo (
) é:
onde:
-
é a densidade do ar ( ), -
é o volume do balão (o que queremos descobrir), -
é a aceleração da gravidade ( ).
Passo 3
Agora, precisamos considerar todas as forças que o balão precisa equilibrar. O balão precisa levantar:
- A carga de 40 kg,
- O próprio balão de 15 kg,
- E o gás de hélio dentro dele.
Vamos calcular o peso total dessas três coisas. O peso (
) é dado por:
Onde:
-
, -
, -
.
Então, substituindo:
Passo 4
Para que o balão consiga levantar tudo isso, a força de empuxo precisa ser igual ao peso total:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Primeiro, subtraia
de ambos os lados:
Agora, divida ambos os lados por
:
Resposta
O volume do balão de hélio necessário para levantar a carga de 40 kg até 27 km de altitude é aproximadamente 1836,12 metros cúbicos.