Um balão de hélio é utilizado para elevar uma carga de 40 kg a una altitude de 27 km , onde a densidade do ar é 0,035 kg / m^3. O balâo tem massa de 15 kg , e a densidade do gás no balão é de 0,0051 kg / m^3. Qual é o volume do balâo? Despreze o volume da carga.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um balão de hélio que precisa levantar uma carga de 40 kg até uma altitude de 27 km. Nessa altitude, a densidade do ar é de 0,035 , kg/m^3. Além disso, o balão em si pesa 15 kg e a densidade do gás no balão é 0,0051 , kg/m^3. Queremos descobrir qual é o volume do balão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força de empuxo e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força de empuxo é a força que o ar exerce para empurrar o balão para cima. Essa força é igual ao peso do ar que o balão desloca. A fórmula para a força de empuxo ( Fe) é:
Fe = rhoar times V times g
onde:
  • rhoar é a densidade do ar ( 0,035 , kg/m^3),
  • V é o volume do balão (o que queremos descobrir),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s^2).

Passo 3

Agora, precisamos considerar todas as forças que o balão precisa equilibrar. O balão precisa levantar:
  • A carga de 40 kg,
  • O próprio balão de 15 kg,
  • E o gás de hélio dentro dele.
Vamos calcular o peso total dessas três coisas. O peso ( P) é dado por:
P = (mcarga + mbalão + mgás) times g ãá
Onde:
  • mcarga = 40 , kg,
  • mbalão = 15 , kgã,
  • mgás = rhogás times V = 0,0051 times Váá.
Então, substituindo:
P = (40 + 15 + 0,0051V) times g

Passo 4

Para que o balão consiga levantar tudo isso, a força de empuxo precisa ser igual ao peso total:
rhoar times V times g = (40 + 15 + 0,0051V) times g
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por g:
rhoar times V = 55 + 0,0051V
Substituindo rhoar = 0,035 , kg/m^3:
0,035V = 55 + 0,0051V

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar V:
Primeiro, subtraia 0,0051V de ambos os lados:
0,035V - 0,0051V = 55
0,0299V = 55
Agora, divida ambos os lados por 0,0299:
V = 550,0299 approx 1836,12 , m^3

Resposta

O volume do balão de hélio necessário para levantar a carga de 40 kg até 27 km de altitude é aproximadamente 1836,12 metros cúbicos.

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