Calcule o determinante das seguintes matrizes:
C=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & -1 \\\\ -1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 5 & 2 & 0 \\\\ 4 & -1 & 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
C=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ -1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 5 & 2 & 0 \\\\ 4 & -1 & 1 & 3 \end{array}\right].
Lista das informações dadas:
  • A matriz C é 4\times4.
  • Quer-se \det\text{(C)}.

Passo 2

Escolha do método e lembrete de propriedades usadas:
  • Vou triangularizar a matriz usando operações elementares de linha do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra”, porque esse tipo de operação NÃO altera o determinante.
  • Lembrete rápido das propriedades que usarei:
    • Se L_i representa a linha i, a operação L_j \leftarrow L_j + k L_i não altera \det.
    • Se a matriz fica triangular (todos zeros abaixo da diagonal), o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
  • Evitarei multiplicar linhas por escalares ou trocar linhas (essas mudam o determinante) para não ter que rastrear fatores.

Passo 3

Primeira coluna: usar a_{11}=1 como pivô e zerar abaixo.
  • Fazer L_2 \leftarrow L_2 + L_1 para eliminar o -1 em a_{21}.
  • Fazer L_4 \leftarrow L_4 - 4L_1 para eliminar o 4 em a_{41}.
Cálculo das novas linhas:
L_2: [-1,1,1,0] + [1,2,0,-1] = [0,3,1,-1],
L_4: [4,-1,1,3] -4\cdot[1,2,0,-1] = [0,-9,1,7].
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 3 & 1 & -1 \\\\ 0 & 5 & 2 & 0 \\\\ 0 & -9 & 1 & 7 \end{array}\right].
(O determinante não mudou com essas operações.)

Passo 4

Segunda coluna: pivô em a_{22}=3. Quero zerar as entradas abaixo (coluna 2, linhas 3 e 4).
  • Para L_4 é prático fazer L_4 \leftarrow L_4 + 3L_2 porque -9 + 3\cdot 3 = 0.
  • Para L_3 faço L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac{5}{3}L_2 (pode aparecer fração), pois 5 - \tfrac{5}{3}\cdot 3 = 0.
Cálculos:
L_4: [0,-9,1,7] + 3\cdot[0,3,1,-1] = [0,0,4,4].
L_3: [0,5,2,0] - \tfrac{5}{3}\cdot[0,3,1,-1] = [0,0,\,2-\tfrac{5}{3},\,0+\tfrac{5}{3}] = \bigl[0,0,\tfrac{1}{3},\tfrac{5}{3}\bigr].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 3 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{3} \\\\ 0 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right].
Ainda não alterei o determinante com essas operações.

Passo 5

Terceira coluna: pivô em a_{33}=\tfrac{1}{3}. Eliminar o 4 em a_{43}.
  • Fator para zerar: 4 \div \tfrac{1}{3} = 12. Faço L_4 \leftarrow L_4 - 12 L_3.
Cálculo:
L_4: [0,0,4,4] -12\cdot\bigl[0,0,\tfrac{1}{3},\tfrac{5}{3}\bigr] = [0,0,\,4-12\cdot\tfrac{1}{3},\,4-12\cdot\tfrac{5}{3}] = [0,0,0,\,4-20] = [0,0,0,-16].
Agora a matriz está triangular superior:
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 3 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{3} \\\\ 0 & 0 & 0 & -16 \end{array}\right].

Passo 6

Cálculo do determinante: como só usei operações do tipo L_j \leftarrow L_j + kL_i (que não alteram \det), o determinante da matriz original é igual ao produto dos elementos da diagonal da matriz triangular obtida.
Produto das diagonais:
\det\text{(C)}= 1 \cdot 3 \cdot \tfrac{1}{3} \cdot (-16).
Calcule passo a passo:
3\cdot\tfrac{1}{3}=1,\qquad 1\cdot 1 \cdot (-16) = -16.

Resposta

-16

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