Resolva o sistema linear abaixo usando a Regra de Cramer, se possível:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\ 2 x+y+4 z=-2 \\\\ 2 x+3 y+5 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\[4pt] 2x+y+4z=-2 \\[4pt] 2x+3y+5z=0 \end{array}\right.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
  • As três equações lineares com as incógnitas x, y e z.
  • Os coeficientes e os termos independentes são inteiros: primeira linha (1,1,1;1), segunda (2,1,4;-2), terceira (2,3,5;0).]

Passo 2

Vou usar a Regra de Cramer. Primeiro defino a matriz dos coeficientes A e o vetor coluna dos termos independentes b:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 4\\[4pt] 2 & 3 & 5 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Explicando a ideia (passo didático): a Regra de Cramer diz que, se \det(A)\neq0, o sistema tem solução única e cada incógnita é dada por
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)},
onde A_x é a matriz obtida substituindo a primeira coluna de A por b, A_y substitui a segunda coluna por b e A_z substitui a terceira coluna por b.
Também explico como calcular determinantes de 3\times3 (Regra de Sarrus): para
M=\begin{pmatrix} a&b&c\\\ d&e&f\\\ g&h&i\end{pmatrix},
temos
\det(M)=a e i + b f g + c d h - (c e g + a f h + b d i).
Irei aplicar exatamente essa fórmula em cada matriz.]

Passo 3

Calcular \det(A). Usando a Regra de Sarrus em
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 4\\[4pt] 2 & 3 & 5 \end{pmatrix},
faço os produtos “para frente”:
1\cdot 1 \cdot 5 = 5,\qquad 1\cdot 4 \cdot 2 = 8,\qquad 1\cdot 2 \cdot 3 = 6,
soma dos três primeiros = 5+8+6=19.
Faço os produtos “para trás”:
1\cdot 1 \cdot 2 = 2,\qquad 1\cdot 4 \cdot 3 = 12,\qquad 1\cdot 2 \cdot 5 = 10,
soma = 2+12+10=24.
Portanto
\det(A)=19-24=-5.]

Passo 4

Interpretação: \det(A)=-5\neq0. Isso significa que a Regra de Cramer é aplicável e o sistema tem uma única solução. Agora calculo os determinantes A_x, A_y e A_z.

Passo 5

Construo A_x substituindo a primeira coluna de A por b:
A_x=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] -2 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}.
Calculo \det(A_x) pela Regra de Sarrus:
produtos para frente:
1\cdot1\cdot5=5,\qquad 1\cdot4\cdot0=0,\qquad 1\cdot(-2)\cdot3=-6,
soma = 5+0-6=-1.
produtos para trás:
1\cdot1\cdot0=0,\qquad 1\cdot4\cdot3=12,\qquad 1\cdot(-2)\cdot5=-10,
soma = 0+12-10=2.
Logo
\det(A_x)=(-1)-2=-3.]

Passo 6

Construo A_y substituindo a segunda coluna de A por b:
A_y=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & -2 & 4\\[4pt] 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
Calculo \det(A_y) (faço pela fórmula de expansão para variar o método, mas é equivalente):
\det(A_y)=1\big((-2)\cdot5-4\cdot0\big)-1\big(2\cdot5-4\cdot2\big)+1\big(2\cdot0-(-2)\cdot2\big).
Calculo cada termo:
1\cdot(-10-0)=-10,\quad -1\cdot(10-8)=-2,\quad 1\cdot(0+4)=4.
Somando: -10-2+4=-8. Portanto
\det(A_y)=-8.]

Passo 7

Construo A_z substituindo a terceira coluna de A por b:
A_z=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -2\\[4pt] 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
Calculo \det(A_z) usando Sarrus:
produtos para frente:
1\cdot1\cdot0=0,\qquad 1\cdot(-2)\cdot2=-4,\qquad 1\cdot2\cdot3=6,
soma = 0-4+6=2.
produtos para trás:
1\cdot1\cdot2=2,\qquad 1\cdot(-2)\cdot3=-6,\qquad 1\cdot2\cdot0=0,
soma = 2-6+0=-4.
Então
\det(A_z)=2-(-4)=6.]

Passo 8

Agora aplico a Regra de Cramer:
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5},
y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}=\frac{-8}{-5}=\frac{8}{5},
z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)}=\frac{6}{-5}=-\frac{6}{5}.
Pequena verificação rápida (substituir na primeira equação):
x+y+z=\frac{3}{5}+\frac{8}{5}-\frac{6}{5}=\frac{3+8-6}{5}=\frac{5}{5}=1,
conferindo a primeira equação; as demais também conferem (conferência via eliminação já mostraria consistência).

Resposta

x=\dfrac{3}{5}
y=\dfrac{8}{5}
z=-\dfrac{6}{5}

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