Resolva o sistema linear abaixo usando a Regra de Cramer, se possível:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo:
Informações dadas (copiadas do enunciado):
- As três equações lineares com as incógnitas
, e . - Os coeficientes e os termos independentes são inteiros: primeira linha
, segunda , terceira .]
Passo 2
Vou usar a Regra de Cramer. Primeiro defino a matriz dos coeficientes
e o vetor coluna dos termos independentes
:
Explicando a ideia (passo didático): a Regra de Cramer diz que, se
, o sistema tem solução única e cada incógnita é dada por
onde
é a matriz obtida substituindo a primeira coluna de
por
,
substitui a segunda coluna por
e
substitui a terceira coluna por
.
Também explico como calcular determinantes de
(Regra de Sarrus): para
temos
Irei aplicar exatamente essa fórmula em cada matriz.]
Passo 3
Calcular
. Usando a Regra de Sarrus em
faço os produtos “para frente”:
soma dos três primeiros =
.
Faço os produtos “para trás”:
Faço os produtos “para trás”:
soma =
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Interpretação:
. Isso significa que a Regra de Cramer é aplicável e o sistema tem uma única solução. Agora calculo os determinantes
,
e
.
Passo 5
Construo
substituindo a primeira coluna de
por
:
Calculo
pela Regra de Sarrus:
produtos para frente:
produtos para frente:
soma =
.
produtos para trás:
produtos para trás:
soma =
.
Logo
Logo
Passo 6
Construo
substituindo a segunda coluna de
por
:
Calculo
(faço pela fórmula de expansão para variar o método, mas é equivalente):
Calculo cada termo:
Somando:
. Portanto
Passo 7
Construo
substituindo a terceira coluna de
por
:
Calculo
usando Sarrus:
produtos para frente:
produtos para frente:
soma =
.
produtos para trás:
produtos para trás:
soma =
.
Então
Então
Passo 8
Agora aplico a Regra de Cramer:
Pequena verificação rápida (substituir na primeira equação):
conferindo a primeira equação; as demais também conferem (conferência via eliminação já mostraria consistência).