Q32- Um grupo de 5 amigos (Marcos, Laura, Ana, Paulo e Gabi) resolveram ir ao cinema e reservaram 5 poltronas. Sabendo que Marcos e Laura namoram, de quantas maneiras eles podem sentar nas poltronas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • 5 amigos: Marcos, Laura, Ana, Paulo e Gabi.
  • 5 poltronas (ou seja, 5 lugares em sequência).
  • Sabendo que Marcos e Laura namoram, o enunciado pede: de quantas maneiras eles podem sentar nas poltronas?
Observação importante (interpretação): aqui a interpretação natural é que, por namorarem, Marcos e Laura devem sentar-se juntos (lado a lado). Vou resolver contando todas as disposições em que o casal ocupa lugares adjacentes.

Passo 2

Ideia geral do que vamos contar (sem ainda calcular): queremos contar todas as permutações dos 5 amigos nas 5 poltronas em que Marcos e Laura ficam lado a lado. Uma técnica padrão para esse tipo de problema é “tratar o casal como um bloco” (um único elemento temporário) e depois considerar as ordens internas do casal. Vou explicar e aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Conceito necessário — permutações e fatorial:
  • Quando temos n objetos distintos e queremos arranjá-los em fila (ou em n lugares), o número de maneiras é n! (lê‑se " n fatorial"), definido por
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
  • Exemplinho rápido: se só houvesse 3 pessoas A,B,C, o total de arranjos seria 3! = 3\cdot2\cdot1=6. Esses 6 arranjos enumeram todas as ordens possíveis.

Passo 4

Aplicando o bloco do casal:
  • Se tratarmos Marcos e Laura como um único bloco (um “casal” que precisa ficar junto), então, junto com os outros 3 amigos (Ana, Paulo, Gabi), temos no total 4 elementos para arrumar na fila: o bloco {Marcos+Laura} mais Ana, Paulo e Gabi.
  • O número de arranjos desses 4 elementos é
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.
Isto conta as posições relativas do bloco entre os outros 3 amigos.

Passo 5

Contando as ordens internas do casal:
  • Dentro do bloco o casal pode sentar-se de duas formas: Marcos à esquerda e Laura à direita, ou Laura à esquerda e Marcos à direita. Ou seja, há 2! maneiras de ordenar o casal dentro do bloco:
2! = 2.

Passo 6

Combinação final (princípio multiplicativo):
  • Para cada uma das 4! posições do bloco entre os outros, há 2! ordens internas do casal. Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos com o casal junto é
4!\times 2! = 24\times 2 = 48.

Passo 7

Verificação alternativa (mesma ideia, contagem direta de pares adjacentes):
  • Outra forma de ver: em 5 cadeiras há 4 pares adjacentes possíveis de poltronas (posições 1\!-\!2,2\!-\!3,3\!-\!4,4\!-\!5). Escolhendo qual par o casal ocupará dá 4 escolhas. Para cada escolha do par, o casal pode se ordenar de 2 maneiras, e os 3 restantes ocupam as 3 cadeiras sobrando em 3! = 6 maneiras. Assim,
4\times 2\times 3! = 4\times 2\times 6 = 48,
o mesmo resultado — bom sinal de que a conta está correta.

Passo 8

Dica prática para a prova: quando um par (ou grupo) deve ficar junto, sempre tente o truque do bloco e não esqueça de multiplicar pelas permutações internas do bloco. É rápido e evita erros.

Resposta

48

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