Q32- Um grupo de 5 amigos (Marcos, Laura, Ana, Paulo e Gabi) resolveram ir ao cinema e reservaram 5 poltronas. Sabendo que Marcos e Laura namoram, de quantas maneiras eles podem sentar nas poltronas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há
amigos: Marcos, Laura, Ana, Paulo e Gabi. - Há
poltronas (ou seja, lugares em sequência). - Sabendo que Marcos e Laura namoram, o enunciado pede: de quantas maneiras eles podem sentar nas poltronas?
Observação importante (interpretação): aqui a interpretação natural é que, por namorarem, Marcos e Laura devem sentar-se juntos (lado a lado). Vou resolver contando todas as disposições em que o casal ocupa lugares adjacentes.
Passo 2
Ideia geral do que vamos contar (sem ainda calcular): queremos contar todas as permutações dos
amigos nas
poltronas em que Marcos e Laura ficam lado a lado. Uma técnica padrão para esse tipo de problema é “tratar o casal como um bloco” (um único elemento temporário) e depois considerar as ordens internas do casal. Vou explicar e aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Conceito necessário — permutações e fatorial:
- Quando temos
objetos distintos e queremos arranjá-los em fila (ou em lugares), o número de maneiras é (lê‑se " fatorial"), definido por
- Exemplinho rápido: se só houvesse
pessoas , o total de arranjos seria . Esses arranjos enumeram todas as ordens possíveis.
Passo 4
Aplicando o bloco do casal:
- Se tratarmos Marcos e Laura como um único bloco (um “casal” que precisa ficar junto), então, junto com os outros
amigos (Ana, Paulo, Gabi), temos no total elementos para arrumar na fila: o bloco {Marcos+Laura} mais Ana, Paulo e Gabi. - O número de arranjos desses
elementos é
Isto conta as posições relativas do bloco entre os outros
amigos.
Passo 5
Contando as ordens internas do casal:
- Dentro do bloco o casal pode sentar-se de duas formas: Marcos à esquerda e Laura à direita, ou Laura à esquerda e Marcos à direita. Ou seja, há
maneiras de ordenar o casal dentro do bloco:
Passo 6
Combinação final (princípio multiplicativo):
- Para cada uma das
posições do bloco entre os outros, há ordens internas do casal. Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos com o casal junto é
Passo 7
Verificação alternativa (mesma ideia, contagem direta de pares adjacentes):
- Outra forma de ver: em
cadeiras há pares adjacentes possíveis de poltronas (posições ). Escolhendo qual par o casal ocupará dá escolhas. Para cada escolha do par, o casal pode se ordenar de maneiras, e os restantes ocupam as cadeiras sobrando em maneiras. Assim,
o mesmo resultado — bom sinal de que a conta está correta.
Passo 8
Dica prática para a prova: quando um par (ou grupo) deve ficar junto, sempre tente o truque do bloco e não esqueça de multiplicar pelas permutações internas do bloco. É rápido e evita erros.