Q34. Um corpo de massa m_{1}, com velocidade v, colide elástica e frontalmente com outro de massa m_{2}. Em que circunstâncias a energia transmitida ao segundo corpo é máxima?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (claros e sem resolver ainda):\n
  • Um corpo de massa \,m_{1}\, move-se com velocidade \,v\, e colide elasticamente e frontalmente com outro corpo de massa \,m_{2}\,.\n
  • Vou assumir (isto não foi explicitado, mas é o caso padrão deste tipo de problema) que o segundo corpo está inicialmente em repouso, ou seja sua velocidade inicial é \,0\,.\n
  • Pergunta do enunciado: em que circunstâncias a energia transmitida ao segundo corpo é máxima? (Queremos encontrar a condição sobre \,m_{2}\, — em função de \,m_{1}\, — que maximiza a energia recebida por m_{2}.)\n

Passo 2

Equações de conservação que usamos (e o que cada símbolo significa):\n
  • Conservação da quantidade de movimento (momentum): a soma das quantidades de movimento antes e depois da colisão é a mesma. Escrevemos
m_{1}v = m_{1}v_{1}' + m_{2}v_{2}',
onde \,v_{1}'\, e \,v_{2}'\, são as velocidades finais de m_{1} e m_{2}, respectivamente.\n
  • Conservação da energia cinética (colisão elástica): a energia cinética total antes e depois é a mesma. Como m_{2} parte do repouso, antes temos energia apenas de m_{1}:
\frac{1}{2}m_{1}v^{2} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}'^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2}.
Explico: \frac{1}{2}m v^{2} é a fórmula da energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v; aqui usamos isso para antes e depois da colisão.\n

Passo 3

Resolver as equações para as velocidades finais (passo-a-passo algébrico):\n
Da conservação do momentum isolamos \,v_{2}':
m_{1}v = m_{1}v_{1}' + m_{2}v_{2}' \quad\Rightarrow\quad m_{2}v_{2}' = m_{1}(v - v_{1}').
Da conservação da energia multiplicamos por 2 para simplificar:
m_{1}v^{2} = m_{1}v_{1}'^{2} + m_{2}v_{2}'^{2}
ou
m_{1}(v^{2}-v_{1}'^{2}) = m_{2}v_{2}'^{2}.
Fatorando o lado esquerdo:
m_{1}(v - v_{1}')(v + v_{1}') = m_{2}v_{2}'^{2}.
Agora substituímos m_{2}v_{2}' obtido da conservação do momentum; note que (m_{2}v_{2}')^{2} = m_{2}^{2}v_{2}'^{2}. Mais útil é dividir ambos os lados da igualdade acima por (v - v_{1}') (caso não seja zero; a solução trivial v=v_1' corresponderia a colisão sem interação efetiva), obtendo:
m_{1}(v + v_{1}') = m_{2}\frac{v_{2}'^{2}}{(v - v_{1}')}.
Mas é mais direto fazer a substituição simples: de m_{2}v_{2}' = m_{1}(v - v_{1}') deduzimos
v_{2}' = \frac{m_{1}}{m_{2}}(v - v_{1}').
Substituindo esse v_{2}' na equação de energia (antes de multiplicar por quaisquer constantes) e cancelando fatores repetidos, chega-se, após manipulação algébrica (mostro a última linha do cálculo direto), em:
v_{1}' = \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v.
Usando esse v_{1}' de volta na equação de momentum obtemos
v_{2}' = \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v.
Comentário curto: essas fórmulas são clássicas para colisão frontal elástica com o segundo repousando inicialmente; dá para verificar substituindo de volta nas equações de conservação.\n

Passo 4

Expressar a energia transmitida ao segundo corpo (o ganho de energia de m_{2}):\n
Como m_{2} estava em repouso, a energia transmitida \Delta E é simplesmente a energia cinética final de m_{2}:
\Delta E = \frac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2}.
Substituindo v_{2}' = \dfrac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v obtemos
\Delta E = \frac{1}{2}m_{2}\left(\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v\right)^{2} = \frac{1}{2}m_{2}\frac{4m_{1}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\,v^{2} = 2\,\frac{m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\,v^{2}.
Para tornar a análise de máximo mais clara, introduzimos a razão de massas
r=\frac{m_{2}}{m_{1}}\quad(\text{com }r>0).
Substituindo m_{2}=r m_{1} em \Delta E e simplificando:
\Delta E = 2\,\frac{m_{1}^{2}(r m_{1})}{\big(m_{1}(1+r)\big)^{2}}\,v^{2} = 2\,\frac{m_{1} r}{(1+r)^{2}}\,v^{2}.
Também é útil ligar isso à energia cinética inicial de m_{1},
K_{1,\text{in}}=\frac{1}{2}m_{1}v^{2}.
Escrevendo \Delta E em função de K_{1,\text{in}}:
\Delta E = 4K_{1,\text{in}}\cdot\frac{r}{(1+r)^{2}}.
Resumo: a fração da energia inicial de m_{1} transferida para m_{2} é 4r/(1+r)^{2}.\n

Passo 5

Maximizar \Delta E em relação à razão r (ou, equivalentemente, em relação a m_{2}): cálculo do máximo\n
Definimos a função
f(r)=\frac{4r}{(1+r)^{2}},\qquad r>0,
tal que \Delta E = K_{1,\text{in}}\cdot f(r)\cdot 1 (exatamente \Delta E = 4K_{1,\text{in}}\frac{r}{(1+r)^{2}}). Queremos o r que maximiza f(r).\n
Calculamos a derivada (uso cálculo básico): f'(r)=4\cdot\frac{(1+r)^{2}\cdot 1 - r\cdot 2(1+r)}{(1+r)^{4}} =4\cdot\frac{(1+r)-2r}{(1+r)^{3}} =4\cdot\frac{1-r}{(1+r)^{3}}.
Zerando a derivada para achar candidatos a extremos:
f'(r)=0 \quad\Rightarrow\quad 1-r=0 \quad\Rightarrow\quad r=1.
Verificamos que é máximo avaliando o sinal da derivada ou a segunda derivada. A segunda derivada em r=1 é negativa (pode-se calcular explicitamente), ou observe que para r<1 temos f'(r)>0 e para r>1 temos f'(r)<0; portanto r=1 é um máximo.\n

Passo 6

Valor máximo da energia transmitida e interpretação física:\n
Colocando r=1 (isto é, m_{2}=m_{1}) em \Delta E ou em f(r) temos
f(1)=\frac{4\cdot 1}{(1+1)^{2}}=\frac{4}{4}=1.
Portanto
\Delta E_{\max} = 4K_{1,\text{in}}\cdot\frac{1}{4} = K_{1,\text{in}} = \frac{1}{2}m_{1}v^{2}.
Interpretação física simples e muito útil para decorar: quando as massas são iguais e o segundo está em repouso, numa colisão frontal e elástica o primeiro pára totalmente e o segundo fica com a velocidade original v. Assim toda a energia cinética inicial de m_{1} é transferida para m_{2}. Isso é o que dá o máximo possível de energia transferida (não se pode transferir mais do que a energia inicial disponível).\n

Passo 7

Casos extremos e intuição (para fixar a ideia):\n
  • Se m_{2}\ll m_{1} (isto é, r\to 0), então f(r)\approx 4r\to 0: pouca energia é transferida (o alvo é leve e sai rápido, mas leva pouca energia).\n
  • Se m_{2}\gg m_{1} (isto é, r\to\infty), então f(r)\approx 4r/r^{2}=4/r\to 0: pouca energia é transferida (o alvo muito pesado quase não se move).\n
    Portanto o máximo razoável ocorre no meio-termo m_{2}=m_{1}.\n

Resposta

A energia transmitida ao segundo corpo é máxima quando m_{2}=m_{1}. O valor máximo transmitido é \displaystyle \frac{1}{2}m_{1}v^{2}.

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