Q34. Um corpo de massa
, com velocidade
, colide elástica e frontalmente com outro de massa
. Em que circunstâncias a energia transmitida ao segundo corpo é máxima?
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (claros e sem resolver ainda):\n
- Um corpo de massa
move-se com velocidade e colide elasticamente e frontalmente com outro corpo de massa .\n - Vou assumir (isto não foi explicitado, mas é o caso padrão deste tipo de problema) que o segundo corpo está inicialmente em repouso, ou seja sua velocidade inicial é
.\n - Pergunta do enunciado: em que circunstâncias a energia transmitida ao segundo corpo é máxima? (Queremos encontrar a condição sobre
— em função de — que maximiza a energia recebida por .)\n
Passo 2
Equações de conservação que usamos (e o que cada símbolo significa):\n
- Conservação da quantidade de movimento (momentum): a soma das quantidades de movimento antes e depois da colisão é a mesma. Escrevemos
onde
e
são as velocidades finais de
e
, respectivamente.\n
- Conservação da energia cinética (colisão elástica): a energia cinética total antes e depois é a mesma. Como
parte do repouso, antes temos energia apenas de :
Explico:
é a fórmula da energia cinética de um corpo de massa
e velocidade
; aqui usamos isso para antes e depois da colisão.\n
Passo 3
Resolver as equações para as velocidades finais (passo-a-passo algébrico):\n
Da conservação do momentum isolamos :
Da conservação do momentum isolamos
Da conservação da energia multiplicamos por 2 para simplificar:
ou
Fatorando o lado esquerdo:
Agora substituímos
obtido da conservação do momentum; note que
. Mais útil é dividir ambos os lados da igualdade acima por
(caso não seja zero; a solução trivial
corresponderia a colisão sem interação efetiva), obtendo:
Mas é mais direto fazer a substituição simples: de
deduzimos
Substituindo esse
na equação de energia (antes de multiplicar por quaisquer constantes) e cancelando fatores repetidos, chega-se, após manipulação algébrica (mostro a última linha do cálculo direto), em:
Usando esse
de volta na equação de momentum obtemos
Comentário curto: essas fórmulas são clássicas para colisão frontal elástica com o segundo repousando inicialmente; dá para verificar substituindo de volta nas equações de conservação.\n
Passo 4
Expressar a energia transmitida ao segundo corpo (o ganho de energia de
):\n
Como estava em repouso, a energia transmitida
é simplesmente a energia cinética final de
:
Como
Substituindo
obtemos
Para tornar a análise de máximo mais clara, introduzimos a razão de massas
Substituindo
em
e simplificando:
Também é útil ligar isso à energia cinética inicial de
,
Escrevendo
em função de
:
Resumo: a fração da energia inicial de
transferida para
é
.\n
Passo 5
Maximizar
em relação à razão
(ou, equivalentemente, em relação a
): cálculo do máximo\n
Definimos a função
Definimos a função
tal que
(exatamente
). Queremos o
que maximiza
.\n
Calculamos a derivada (uso cálculo básico):
Zerando a derivada para achar candidatos a extremos:
Verificamos que é máximo avaliando o sinal da derivada ou a segunda derivada. A segunda derivada em
é negativa (pode-se calcular explicitamente), ou observe que para
temos
e para
temos
; portanto
é um máximo.\n
Passo 6
Valor máximo da energia transmitida e interpretação física:\n
Colocando (isto é,
) em
ou em
temos
Colocando
Portanto
Interpretação física simples e muito útil para decorar: quando as massas são iguais e o segundo está em repouso, numa colisão frontal e elástica o primeiro pára totalmente e o segundo fica com a velocidade original
. Assim toda a energia cinética inicial de
é transferida para
. Isso é o que dá o máximo possível de energia transferida (não se pode transferir mais do que a energia inicial disponível).\n
Passo 7
Casos extremos e intuição (para fixar a ideia):\n
- Se
(isto é, ), então : pouca energia é transferida (o alvo é leve e sai rápido, mas leva pouca energia).\n - Se
(isto é, ), então : pouca energia é transferida (o alvo muito pesado quase não se move).\n
Portanto o máximo razoável ocorre no meio-termo.\n
Resposta
A energia transmitida ao segundo corpo é máxima quando
. O valor máximo transmitido é
.