Q29. Os instrumentos de um avião indicam que em relação ao ar o avião se move para leste com velocidade de 560
. Ao mesmo tempo um radar em terra indica que o avião se move com velocidade de
na direção que faz.
com o leste e aponta para o norte. Determine o módulo e a direção do vento. R:
a
linha Norte-Sul para noroeste.
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre velocidades (peguei esses números do enunciado):
- A velocidade do avião em relação ao ar (velocidade aerodinâmica) é
apontando para o leste. - O radar em terra dá a velocidade do avião em relação ao solo (velocidade em relação ao chão) como
numa direção que faz com o leste apontando para o norte (ou seja, ao norte do leste).
O que o problema pede: determinar o módulo e a direção do vento (ou seja, da velocidade do vento
).
Passo 2
Entendendo a relação entre as velocidades (a parte teórica que precisa entender na prova). A velocidade do avião em relação ao solo é a soma vetorial da velocidade do avião em relação ao ar com a velocidade do vento:
Assim, a velocidade do vento é
Vou usar um sistema de eixos simples: eixo
apontando para o leste e eixo
apontando para o norte. Neste sistema, decomponho todas as velocidades em componentes
(leste) e
(norte).
Passo 3
Decompondo
e
em componentes (a explicação rápida das fórmulas de decomposição: para um vetor de módulo
que faz ângulo
com o eixo
temos componentes
e
).
- A velocidade do avião em relação ao ar é para o leste, logo
- A velocidade do avião em relação ao solo tem módulo
e ângulo medido a partir do leste em direção ao norte, então
Passo 4
Calcular as componentes da velocidade do vento usando
. Assim:
Esses números vêm do enunciado (os
,
e o ângulo
).
Passo 5
Vamos calcular numericamente as componentes (mostrando o cálculo passo a passo). Primeiro os valores trigonométricos aproximados:
Agora as componentes:
Interpretação:
significa componente para o oeste;
significa componente para o norte — logo o vento sopra para noroeste.
Passo 6
Calcular o módulo do vento. Em vez de fazer
diretamente com os números arredondados, há uma simplificação elegante (é a mesma conta): usando a identidade
podemos obter
Isso é idêntico à aplicação da lei dos cossenos e evita acumular muito erro. Agora os cálculos:
Substituindo
:
Passo 7
Calcular a direção do vento. A direção pode ser obtida pelo ângulo entre o vetor vento e a direção norte (ou a partir dos componentes). O ângulo
entre o vento e o norte, medido para o oeste a partir do norte, satisfaz
Logo
Interpretação: o vetor vento aponta
a oeste do norte, isto é, “a
da linha Norte-Sul para noroeste”.