Q29. Os instrumentos de um avião indicam que em relação ao ar o avião se move para leste com velocidade de 560 \mathrm{km} / \mathrm{h}. Ao mesmo tempo um radar em terra indica que o avião se move com velocidade de 520 \mathrm{~km} / \mathrm{h} na direção que faz. 8^{\circ} com o leste e aponta para o norte. Determine o módulo e a direção do vento. R: 85,3 \mathrm{~km} / \mathrm{h} a 32^{\circ} \mathrm{da} linha Norte-Sul para noroeste.

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre velocidades (peguei esses números do enunciado):
  • A velocidade do avião em relação ao ar (velocidade aerodinâmica) é \vec{v}_{\text{a}}=560\\ \mathrm{km/h} apontando para o leste.
  • O radar em terra dá a velocidade do avião em relação ao solo (velocidade em relação ao chão) como \vec{v}_{\text{g}}=520\\ \mathrm{km/h} numa direção que faz 8^\circ com o leste apontando para o norte (ou seja, 8^\circ ao norte do leste).
O que o problema pede: determinar o módulo e a direção do vento (ou seja, da velocidade do vento \vec{v}_{\text{w}}).

Passo 2

Entendendo a relação entre as velocidades (a parte teórica que precisa entender na prova). A velocidade do avião em relação ao solo é a soma vetorial da velocidade do avião em relação ao ar com a velocidade do vento:
\vec{v}_{\text{g}}=\vec{v}_{\text{a}}+\vec{v}_{\text{w}}.
Assim, a velocidade do vento é
\vec{v}_{\text{w}}=\vec{v}_{\text{g}}-\vec{v}_{\text{a}}.
Vou usar um sistema de eixos simples: eixo x apontando para o leste e eixo y apontando para o norte. Neste sistema, decomponho todas as velocidades em componentes x (leste) e y (norte).

Passo 3

Decompondo \vec{v}_{\text{a}} e \vec{v}_{\text{g}} em componentes (a explicação rápida das fórmulas de decomposição: para um vetor de módulo V que faz ângulo \varphi com o eixo x temos componentes V_x=V\cos\varphi e V_y=V\sin\varphi).
  • A velocidade do avião em relação ao ar é para o leste, logo
\vec{v}_{\text{a}}=(560,\,0)\quad\text{(em km/h)}.
  • A velocidade do avião em relação ao solo tem módulo 520 e ângulo \varphi=8^\circ medido a partir do leste em direção ao norte, então
\vec{v}_{\text{g}}=\bigl(520\cos 8^\circ,\;520\sin 8^\circ\bigr).

Passo 4

Calcular as componentes da velocidade do vento usando \vec{v}_{\text{w}}=\vec{v}_{\text{g}}-\vec{v}_{\text{a}}. Assim:
v_{w,x}=520\cos 8^\circ - 560, \qquad v_{w,y}=520\sin 8^\circ.
Esses números vêm do enunciado (os 520, 560 e o ângulo 8^\circ).

Passo 5

Vamos calcular numericamente as componentes (mostrando o cálculo passo a passo). Primeiro os valores trigonométricos aproximados:
\cos 8^\circ\approx 0{,}990268\quad\text{e}\quad \sin 8^\circ\approx 0{,}139173.
Agora as componentes:
v_{w,x}=520\cdot 0{,}990268 - 560 \approx 514{,}939 - 560 \approx -45{,}061\\ \mathrm{km/h},
v_{w,y}=520\cdot 0{,}139173 \approx 72{,}370\\ \mathrm{km/h}.
Interpretação: v_{w,x}<0 significa componente para o oeste; v_{w,y}>0 significa componente para o norte — logo o vento sopra para noroeste.

Passo 6

Calcular o módulo do vento. Em vez de fazer \sqrt{v_{w,x}^2+v_{w,y}^2} diretamente com os números arredondados, há uma simplificação elegante (é a mesma conta): usando a identidade \cos^2+\sin^2=1 podemos obter
\|\vec{v}_{\text{w}}\|=\sqrt{560^2+520^2-2\cdot560\cdot520\cos 8^\circ}.
Isso é idêntico à aplicação da lei dos cossenos e evita acumular muito erro. Agora os cálculos:
560^2=313600,\quad 520^2=270400,\quad 2\cdot560\cdot520=582400.
\|\vec{v}_{\text{w}}\|=\sqrt{313600+270400-582400\cos 8^\circ} =\sqrt{584000-582400\cos 8^\circ}.
Substituindo \cos 8^\circ\approx 0{,}990268:
\|\vec{v}_{\text{w}}\|\approx\sqrt{584000-582400\cdot 0{,}990268} \approx\sqrt{7267{,}9}\approx 85{,}3\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Calcular a direção do vento. A direção pode ser obtida pelo ângulo entre o vetor vento e a direção norte (ou a partir dos componentes). O ângulo \theta entre o vento e o norte, medido para o oeste a partir do norte, satisfaz
\tan\theta=\frac{|v_{w,x}|}{v_{w,y}}=\frac{45{,}061}{72{,}370}\approx 0{,}6229.
Logo
\theta=\arctan(0{,}6229)\approx 32^\circ.
Interpretação: o vetor vento aponta 32^\circ a oeste do norte, isto é, “a 32^\circ da linha Norte-Sul para noroeste”.

Resposta

85,3\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} a 32^\circ da linha Norte-Sul para noroeste.

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