Q27. Dois aviões A e B voam em altitudes constantes; o avião A voa para leste com velocidade constante de 960 \mathrm{km} / \mathrm{h}, enquanto B voa para sudoeste com velocidade constante de 640 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Determine a mudança na posiçảo de B em relação a A que ocorre num intervalo de tempo de 1,5 minutos. R: 37 km .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • O avião A voa para leste com velocidade constante de 960\\ \mathrm{km/h}.
  • O avião B voa para sudoeste com velocidade constante de 640\\ \mathrm{km/h}.
  • O intervalo de tempo considerado é 1{,}5 minutos.
A pergunta é: qual é a mudança na posição de B em relação a A que ocorre nesse intervalo de tempo? Em outras palavras, queremos o deslocamento relativo de B em relação a A durante 1{,}5 minutos (valor numérico, em km).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando os objetos se movem com velocidades constantes, o deslocamento em um intervalo de tempo \Delta t é dado por velocidade vezes tempo. Para a variação da posição de B em relação a A usamos a velocidade relativa
\mathbf{v}_{\text{rel}}=\mathbf{v}_B-\mathbf{v}_A,
e o deslocamento relativo é
\Delta \mathbf{r}_{\text{rel}}=\mathbf{v}_{\text{rel}}\Delta t.
Então a magnitude do deslocamento relativo é
\left\lVert\Delta \mathbf{r}_{\text{rel}}\right\rVert=\left\lVert\mathbf{v}_{\text{rel}}\right\rVert\Delta t.
Aqui \mathbf{v}_A e \mathbf{v}_B são vetores velocidade (têm direção e módulo), \Delta t deve estar na mesma unidade das velocidades (horas, pois velocidades estão em \mathrm{km/h}), e \lVert\cdot\rVert indica o comprimento (magnitude) do vetor. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escolha de sistema de coordenadas e decomposição das velocidades:
  • Tomamos o eixo x apontando para leste e o eixo y apontando para norte.
  • Então a velocidade de A (para leste) é
\mathbf{v}_A = \bigl(960,\,0\bigr)\\ \mathrm{km/h}.
  • Sudoeste significa direção exatamente entre sul e oeste; em componentes cartesianas a unidade nessa direção é \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr). Logo a velocidade de B é
\mathbf{v}_B = 640\cdot\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) = \bigl(-\tfrac{640}{\sqrt{2}},\,-\tfrac{640}{\sqrt{2}}\bigr)\\ \mathrm{km/h}.
Para simplificar, note que \tfrac{640}{\sqrt{2}}=320\sqrt{2}. Opcionalmente aproximamos \sqrt{2}\approx1{,}41421356, então
\tfrac{640}{\sqrt{2}}=320\sqrt{2}\approx 452{,}548\\ \mathrm{km/h}.

Passo 4

Calcular a velocidade relativa \mathbf{v}_{\text{rel}}=\mathbf{v}_B-\mathbf{v}_A:
\mathbf{v}_{\text{rel}} = \Bigl(-\tfrac{640}{\sqrt{2}}-960,\; -\tfrac{640}{\sqrt{2}}-0\Bigr) = \Bigl(-\bigl(960+\tfrac{640}{\sqrt{2}}\bigr),\; -\tfrac{640}{\sqrt{2}}\Bigr)\\ \mathrm{km/h}.
Agora a magnitude \left\lVert\mathbf{v}_{\text{rel}}\right\rVert vale
\left\lVert\mathbf{v}_{\text{rel}}\right\rVert = \sqrt{\Bigl(960+\tfrac{640}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2} + \Bigl(\tfrac{640}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2}}.
Para simplificar simbolicamente, deixe b=\tfrac{640}{\sqrt{2}}=320\sqrt{2}. Então
\left\lVert\mathbf{v}_{\text{rel}}\right\rVert = \sqrt{(960+b)^{2}+b^{2}} = \sqrt{960^{2}+2\cdot960\cdot b + 2b^{2}}.
Como b^{2}=(320\sqrt{2})^{2}=320^{2}\cdot 2=102{,}400\cdot 2=204{,}800, obtemos
960^{2}=921{,}600,\qquad 2b^{2}=409{,}600.
E 2\cdot960\cdot b = 1920\cdot b = 1920\cdot 320\sqrt{2}=614{,}400\sqrt{2}\approx 868{,}892{,}16.
Somando,
\left\lVert\mathbf{v}_{\text{rel}}\right\rVert \approx \sqrt{921{,}600 + 868{,}892{,}16 + 409{,}600} = \sqrt{2{,}200{,}092{,}16} \approx 1{,}483{,}27\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Converter o tempo e calcular o deslocamento relativo:
  • O intervalo de tempo é 1{,}5 minutos, em horas isso é
\Delta t = \frac{1{,}5}{60} = 0{,}025\\ \mathrm{h}.
  • A magnitude do deslocamento relativo é
\left\lVert\Delta \mathbf{r}_{\text{rel}}\right\rVert = \left\lVert\mathbf{v}_{\text{rel}}\right\rVert \Delta t \approx 1{,}483{,}27\cdot 0{,}025\\ \mathrm{km} \approx 37{,}08\\ \mathrm{km}.
Arredondando para a precisão natural do enunciado, isso dá 37\\ \mathrm{km}, que coincide com a resposta fornecida.

Resposta

37\\ \mathrm{km}

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