Q4 Analise cada afirmativa e julgue em verdadeiro ou falso.
(a) Se k é uma constante, então integrala^b k d x=k(b-a);
(b) Se f for integrável e k é uma constante, então integrala^b k cdot f(x) d x=k cdot integrala^b f(x) d x;
(c) Se f e g forem integráveis, então integrala^b f(x) pm g(x) d x=integrala^b f(x) d x pm integrala^b g(x) d x;
(d) Se f for integrável, então integrala^b f(x) d x=integrala^c f(x) d x+integralc^b f(x) d x, em que c in[a, b];
(e) Se f e g forem integráveis tais que f(x) >= g(x), forall x in[a, b], então integrala^b f(x) d x >= integrala^b g(x) d x;
(f) Se f for contínua e compreendida entre dois números n e M, forall x in[a, b] (isto é, n <= f(x) <= M ), então n cdot(b-a) <= integrala^b f(x) d x <= M cdot(b-a) ;
(g) Se f for contínua em [a, b], então existe um número c in[a, b] tal que integrala^b f(x) d x=f(c) cdot(b-a).

Passo 1

O enunciado pede para julgar em verdadeiro ou falso sete propriedades básicas da integral definida de Riemann: (a) integral de constante, (b) homogeneidade, (c) aditividade em soma, (d) aditividade no intervalo, (e) monotonicidade, (f) estimativas por retângulos e (g) teorema do valor médio para integrais. Vamos usar os teoremas fundamentais sobre integrabilidade, linearidade, monotonicidade e valor médio.

Passo 2

Verificamos (a), (b) e (c) usando linearidade da integral.
– (a) Se k é constante, a primitiva de xmapsto k é K(x)=kx. Logo
integrala^bk,dx = K(b)-K(a) = k,b - k,a = k(b-a)
– (b) A homogeneidade afirma que, para f integrável e k constante,
integrala^bk,f(x),dx = k integrala^bf(x),dx
– (c) A aditividade em soma/diferença diz que, se f e g são integráveis,
integrala^bl(f(x)pm g(x)r),dx = integrala^bf(x),dx pm integrala^bg(x),dx

Passo 3

Para (d) aplicamos a propriedade de aditividade no intervalo: se cin[a,b] e f é integrável então
integrala^bf(x),dx = integrala^cf(x),dx + integralc^bf(x),dx

Passo 4

Para (e) usamos o Teorema da monotonicidade: se f e g são integráveis e f(x)>= g(x) para todo xin[a,b], então
integrala^bf(x),dx >= integrala^bg(x),dx

Passo 5

Para (f) recorremos à estimativa por retângulos: se f é contínua em [a,b] (logo integrável) e satisfaz n<= f(x)<= M em todo x, então
n(b-a)<= integrala^bf(x),dx <= M(b-a)

Passo 6

Para (g) invocamos o Teorema do Valor Médio para integrais: se f é contínua em [a,b] existe cin[a,b] tal que
integrala^bf(x),dx = f(c),(b-a)

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Verdadeiro
(f) Verdadeiro
(g) Verdadeiro

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