Q4 Analise cada afirmativa e julgue em verdadeiro ou falso.
(a) Se
é uma constante, então
;
(b) Se
for integrável e
é uma constante, então
;
(c) Se
e
forem integráveis, então
;
(d) Se
for integrável, então
, em que
;
(e) Se
e
forem integráveis tais que
, então
;
(f) Se
for contínua e compreendida entre dois números
e
(isto é,
), então
(g) Se
for contínua em
, então existe um número
tal que
.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) Se
(e) Se
(f) Se
(g) Se
Passo 1
O enunciado pede para julgar em verdadeiro ou falso sete propriedades básicas da integral definida de Riemann: (a) integral de constante, (b) homogeneidade, (c) aditividade em soma, (d) aditividade no intervalo, (e) monotonicidade, (f) estimativas por retângulos e (g) teorema do valor médio para integrais. Vamos usar os teoremas fundamentais sobre integrabilidade, linearidade, monotonicidade e valor médio.
Passo 2
Verificamos (a), (b) e (c) usando linearidade da integral.
– (a) Se é constante, a primitiva de
é
. Logo
– (a) Se
– (b) A homogeneidade afirma que, para
integrável e
constante,
– (c) A aditividade em soma/diferença diz que, se
e
são integráveis,
Passo 3
Para (d) aplicamos a propriedade de aditividade no intervalo: se
e
é integrável então
Passo 4
Para (e) usamos o Teorema da monotonicidade: se
e
são integráveis e
para todo
, então
Passo 5
Para (f) recorremos à estimativa por retângulos: se
é contínua em
(logo integrável) e satisfaz
em todo
, então
Passo 6
Para (g) invocamos o Teorema do Valor Médio para integrais: se
é contínua em
existe
tal que
Resposta
(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Verdadeiro
(f) Verdadeiro
(g) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Verdadeiro
(f) Verdadeiro
(g) Verdadeiro