Q15: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I ê verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. Todo subconjunto de um conjunto LD é LD.
II. A união de dois conjuntos LDs é LD.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I ê verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. Todo subconjunto de um conjunto LD é LD.
II. A união de dois conjuntos LDs é LD.
Passo 1
O enunciado dá duas afirmações sobre conjuntos LD (linearmente dependentes) e pede que se escolha qual alternativa está correta:
- (A) Todas são falsas.
- (B) Só I é verdadeira.
- (C) Só II é verdadeira.
- (D) Todas são verdadeiras.
As afirmações são:
- I. Todo subconjunto de um conjunto LD é LD.
- II. A união de dois conjuntos LDs é LD.
Passo 2
Primeiro vamos entender direitinho o que significa “conjunto LD” (linearmente dependente). Vou explicar devagarinho.
Definição (essencial): um conjunto de vetores
é dito linearmente dependente (LD) se existe uma combinação linear finita desses vetores, com coeficientes não todos nulos, que dá o vetor zero. Em símbolos:
Explicando as letras:
-
são vetores pertencentes ao conjunto . -
são escalares (números) da base do espaço vetorial (por exemplo reais). - A condição "pelo menos um
" é o que torna a combinação não trivial — se todos fossem zero a soma seria sempre zero e não contaria como dependência.
Um conjunto é linearmente independente (LI) quando a única combinação linear que dá zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Vou dar um exemplo simples para fixar:
- Em
, os vetores e são LI porque implica . - Já o conjunto
é LD porque
e nem todos os coeficientes são zero.
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “Todo subconjunto de um conjunto LD é LD.”
Intuição: Se um conjunto é dependente, não significa que qualquer parte dele também seja dependente — às vezes a dependência usa justamente vários vetores ao mesmo tempo, e se eu tiro alguns desses vetores a dependência desaparece.
Contraexemplo concreto (muito didático):
- Considere
. - Já mostrei que
é LD porque
coeficientes não todos nulos.
- Agora pegue o subconjunto
. Se tivéssemos , então olhando coordenadas obtemos e . Logo é LI (linearmente independente), ou seja, não é LD.
Conclusão do Passo: existe um subconjunto de um conjunto LD que é LI, portanto a afirmativa I é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “A união de dois conjuntos LDs é LD.”
Raciocínio passo a passo e prova simples:
- Seja
um conjunto LD. Pela definição de dependência, existe uma combinação linear finita não trivial de vetores de que dá zero. Ou seja, existem vetores e escalares , nem todos zero, tal que
- Agora considere qualquer outro conjunto
. A união contém todos os elementos de , em particular contém . - Portanto a mesma combinação linear que demonstra a dependência de
é uma combinação linear não trivial formada por vetores de que também soma zero. Logo é LD. - Aplicando isso a dois conjuntos LD quaisquer
e , cada um tem uma combinação linear não trivial que dá zero; cada combinação já prova que (que contém ambos e ) é LD. Em suma: qualquer conjunto que contenha um conjunto dependente é dependente (dependência “é herdada por supersets”).
Conclusão do Passo: a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Resumo final do raciocínio:
- I é falsa (apresentei um contraexemplo).
- II é verdadeira (mostrei que superset de um conjunto LD é LD, logo a união — que é um superset — é LD).
Resposta
(C) Só II é verdadeira.