Q15: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I ê verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. Todo subconjunto de um conjunto LD é LD.
II. A união de dois conjuntos LDs é LD.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmações sobre conjuntos LD (linearmente dependentes) e pede que se escolha qual alternativa está correta:
  • (A) Todas são falsas.
  • (B) Só I é verdadeira.
  • (C) Só II é verdadeira.
  • (D) Todas são verdadeiras.
As afirmações são:
  • I. Todo subconjunto de um conjunto LD é LD.
  • II. A união de dois conjuntos LDs é LD.

Passo 2

Primeiro vamos entender direitinho o que significa “conjunto LD” (linearmente dependente). Vou explicar devagarinho.
Definição (essencial): um conjunto de vetores S é dito linearmente dependente (LD) se existe uma combinação linear finita desses vetores, com coeficientes não todos nulos, que dá o vetor zero. Em símbolos:
\text{Existe }k\ge1,\; v_1,\dots,v_k\in S,\; a_1,\dots,a_k\in\mathbb{F},\\ \text{com pelo menos um }a_i\neq0,\\ \text{tais que}\\ \sum_{i=1}^{k} a_i v_i = 0.
Explicando as letras:
  • v_1,\dots,v_k são vetores pertencentes ao conjunto S.
  • a_1,\dots,a_k são escalares (números) da base do espaço vetorial (por exemplo reais).
  • A condição "pelo menos um a_i\neq0" é o que torna a combinação não trivial — se todos fossem zero a soma seria sempre zero e não contaria como dependência.
Um conjunto é linearmente independente (LI) quando a única combinação linear que dá zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Vou dar um exemplo simples para fixar:
  • Em \mathbb{R}^2, os vetores e_1=(1,0) e e_2=(0,1) são LI porque a e_1 + b e_2 = 0 implica a=b=0.
  • Já o conjunto \{e_1,e_2,e_1+e_2\} é LD porque
1\cdot e_1 + 1\cdot e_2 + (-1)\cdot (e_1+e_2) = 0,
e nem todos os coeficientes são zero.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “Todo subconjunto de um conjunto LD é LD.”
Intuição: Se um conjunto é dependente, não significa que qualquer parte dele também seja dependente — às vezes a dependência usa justamente vários vetores ao mesmo tempo, e se eu tiro alguns desses vetores a dependência desaparece.
Contraexemplo concreto (muito didático):
  • Considere S=\{e_1,e_2,e_1+e_2\}\subset\mathbb{R}^2.
  • Já mostrei que S é LD porque
1\cdot e_1 + 1\cdot e_2 + (-1)\cdot (e_1+e_2) = 0,
coeficientes não todos nulos.
  • Agora pegue o subconjunto T=\{e_1,e_2\}. Se tivéssemos a e_1 + b e_2 = 0, então olhando coordenadas obtemos a=0 e b=0. Logo T é LI (linearmente independente), ou seja, não é LD.
Conclusão do Passo: existe um subconjunto de um conjunto LD que é LI, portanto a afirmativa I é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “A união de dois conjuntos LDs é LD.”
Raciocínio passo a passo e prova simples:
  • Seja A um conjunto LD. Pela definição de dependência, existe uma combinação linear finita não trivial de vetores de A que dá zero. Ou seja, existem vetores u_1,\dots,u_m\in A e escalares c_1,\dots,c_m, nem todos zero, tal que
\sum_{i=1}^{m} c_i u_i = 0.
  • Agora considere qualquer outro conjunto B. A união A\cup B contém todos os elementos de A, em particular contém u_1,\dots,u_m.
  • Portanto a mesma combinação linear que demonstra a dependência de A é uma combinação linear não trivial formada por vetores de A\cup B que também soma zero. Logo A\cup B é LD.
  • Aplicando isso a dois conjuntos LD quaisquer A e B, cada um tem uma combinação linear não trivial que dá zero; cada combinação já prova que A\cup B (que contém ambos A e B) é LD. Em suma: qualquer conjunto que contenha um conjunto dependente é dependente (dependência “é herdada por supersets”).
Conclusão do Passo: a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Resumo final do raciocínio:
  • I é falsa (apresentei um contraexemplo).
  • II é verdadeira (mostrei que superset de um conjunto LD é LD, logo a união — que é um superset — é LD).

Resposta

(C) Só II é verdadeira.

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